Решите систему уравнений x^2+xy=12 y-x=2 (под одной скобкой)

x = 4, y = 2

Чтобы решить систему уравнений

[ \begin{cases} x^2 + xy = 12 \ y - x = 2 \end{cases} ]

следуем следующим шагам:

1. Выразим переменную ( y ) через ( x ) из второго уравнения:

   [ y = x + 2 ]

2. Подставим выражение для ( y ) во второе уравнение в первое уравнение:

   [ x^2 + x(x + 2) = 12 ]

   Упростим уравнение:

   [ x^2 + x^2 + 2x = 12 ]

   [ 2x^2 + 2x = 12 ]

3. Разделим всё уравнение на 2, чтобы упростить его:

   [ x^2 + x = 6 ]

4. Переносим все члены в одну сторону уравнения:

   [ x^2 + x - 6 = 0 ]

5. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   Квадратное уравнение имеет вид ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -6 ).

   Дискриминант:

   [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25 ]

   Корни уравнения:

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} ]

   [ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 ]

   [ x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 ]

6. Подставляем найденные значения ( x ) обратно в уравнение для ( y ):

   Для ( x = 2 ):

   [ y = x + 2 = 2 + 2 = 4 ]

   Для ( x = -3 ):

   [ y = x + 2 = -3 + 2 = -1 ]

7. Ответ:

   Система уравнений имеет два решения: ( (x, y) = (2, 4) ) и ( (x, y) = (-3, -1) ).

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

1. Метод подстановки: Из второго уравнения y - x = 2 => y = x + 2. Подставляем y = x + 2 в первое уравнение: x^2 + x(x+2) = 12 x^2 + x^2 + 2x = 12 2x^2 + 2x - 12 = 0 x^2 + x - 6 = 0 (x + 3)(x - 2) = 0 x = -3 или x = 2

Далее, подставляем найденные значения x обратно во второе уравнение: Для x = -3: y - (-3) = 2 => y + 3 = 2 => y = -1 Для x = 2: y - 2 = 2 => y = 4

Итак, получаем два решения системы уравнений: x = -3, y = -1 x = 2, y = 4

Таким образом, система уравнений x^2 + xy = 12 и y - x = 2 имеет два решения: (-3, -1) и (2, 4).