Решите систему уравнений : x^2+xy-3y= -1 4x-y=3

x = 1, y = 1

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

Давайте воспользуемся методом подстановки. Второе уравнение можно переписать в виде выражения y через x: y = 4x - 3. Подставим это выражение в первое уравнение:

x^2 + x(4x - 3) - 3(4x - 3) = -1 x^2 + 4x^2 - 3x - 12x + 9 = -1 5x^2 - 15x + 9 = -1 5x^2 - 15x + 10 = 0

Далее решаем полученное квадратное уравнение:

D = (-15)^2 - 4510 = 225 - 200 = 25 x1,2 = (15 ± √25) / 10 x1 = 2, x2 = 1/5

Теперь найдем соответствующие значения y:

y1 = 42 - 3 = 5 y2 = 4(1/5) - 3 = -2.2

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (2, 5) и (1/5, -2.2).

Решим систему уравнений: [ \begin{cases} x^2 + xy - 3y = -1 \quad \text{(1)} \ 4x - y = 3 \quad \text{(2)} \end{cases} ]

Начнем с уравнения (2). Выразим ( y ) через ( x ): [ 4x - y = 3 ] [ y = 4x - 3 ]

Теперь подставим это выражение для ( y ) в уравнение (1): [ x^2 + x(4x - 3) - 3(4x - 3) = -1 ] Раскроем скобки: [ x^2 + 4x^2 - 3x - 12x + 9 = -1 ] Приведем подобные слагаемые: [ 5x^2 - 15x + 9 = -1 ] Перенесем -1 в левую часть уравнения: [ 5x^2 - 15x + 10 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение: [ 5x^2 - 15x + 10 = 0 ] Воспользуемся дискриминантом для решения квадратного уравнения. Формула дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ] где ( a = 5 ), ( b = -15 ), ( c = 10 ): [ D = (-15)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 10 ] [ D = 225 - 200 ] [ D = 25 ]

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня. Формула корней квадратного уравнения: [ x{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] Подставим значения: [ x{1,2} = \frac{-(-15) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 5} ] [ x_{1,2} = \frac{15 \pm 5}{10} ] Получаем два корня: [ x_1 = \frac{15 + 5}{10} = \frac{20}{10} = 2 ] [ x_2 = \frac{15 - 5}{10} = \frac{10}{10} = 1 ]

Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого из найденных ( x ).

Для ( x = 2 ): [ y = 4x - 3 ] [ y = 4 \cdot 2 - 3 ] [ y = 8 - 3 ] [ y = 5 ]

Для ( x = 1 ): [ y = 4x - 3 ] [ y = 4 \cdot 1 - 3 ] [ y = 4 - 3 ] [ y = 1 ]

Таким образом, система уравнений имеет два решения: [ (x, y) = (2, 5) ] и [ (x, y) = (1, 1) ]

Проверим оба решения, подставив их обратно в исходные уравнения, чтобы убедиться в их правильности.

Для ((2, 5)): 1) ( x^2 + xy - 3y = -1 ): [ 2^2 + 2 \cdot 5 - 3 \cdot 5 = 4 + 10 - 15 = -1 ]

2) ( 4x - y = 3 ): [ 4 \cdot 2 - 5 = 8 - 5 = 3 ]

Для ((1, 1)): 1) ( x^2 + xy - 3y = -1 ): [ 1^2 + 1 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = 1 + 1 - 3 = -1 ]

2) ( 4x - y = 3 ): [ 4 \cdot 1 - 1 = 4 - 1 = 3 ]

Оба решения удовлетворяют системе уравнений. Ответ: [ (2, 5) \quad \text{и} \quad (1, 1) ]