Решите систему уравнений {x+y=5 3x-2y=3

Для решения системы уравнений

[ \begin{cases} x + y = 5 \ 3x - 2y = 3 \end{cases} ]

можно использовать метод подстановки или метод сложения (вычитания). Рассмотрим оба метода.

Метод подстановки

1. Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим (y) через (x):

   [ y = 5 - x ]

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

   [ 3x - 2(5 - x) = 3 ]

   Раскроем скобки:

   [ 3x - 10 + 2x = 3 ]

   Объединим подобные члены:

   [ 5x - 10 = 3 ]

3. Решим полученное уравнение:

   [ 5x = 3 + 10 ] [ 5x = 13 ] [ x = \frac{13}{5} ]

4. Теперь подставим найденное значение (x) обратно в выражение для (y):

   [ y = 5 - \frac{13}{5} = \frac{25}{5} - \frac{13}{5} = \frac{12}{5} ]

Таким образом, мы получили решение системы:

[ x = \frac{13}{5}, \quad y = \frac{12}{5} ]

Метод сложения (вычитания)

1. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при (y) в обоих уравнениях стали одинаковыми:

   [ 2(x + y) = 2 \cdot 5 \implies 2x + 2y = 10 ]

   Теперь система уравнений выглядит так:

   [ \begin{cases} 2x + 2y = 10 \ 3x - 2y = 3 \end{cases} ]

2. Теперь сложим оба уравнения:

   [ (2x + 2y) + (3x - 2y) = 10 + 3 ]

   Это упростится до:

   [ 5x = 13 ]

   Отсюда:

   [ x = \frac{13}{5} ]

3. Подставим найденное значение (x) в первое уравнение:

   [ \frac{13}{5} + y = 5 ]

   Преобразуем уравнение:

   [ y = 5 - \frac{13}{5} = \frac{25}{5} - \frac{13}{5} = \frac{12}{5} ]

Таким образом, используя оба метода, мы пришли к одному и тому же решению:

[ \boxed{\left( \frac{13}{5}, \frac{12}{5} \right)} ]

Давайте решим данную систему уравнений:

[ \begin{cases} x + y = 5 \ 3x - 2y = 3 \end{cases} ]

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из первого уравнения.

Из первого уравнения (x + y = 5) выразим (y) через (x): [ y = 5 - x. ]

Шаг 2: Подставим выражение для (y) во второе уравнение.

Теперь подставим (y = 5 - x) во второе уравнение (3x - 2y = 3): [ 3x - 2(5 - x) = 3. ]

Раскроем скобки: [ 3x - 10 + 2x = 3. ]

Упростим: [ 5x - 10 = 3. ]

Шаг 3: Решим получившееся уравнение для (x).

Добавим 10 к обеим сторонам: [ 5x = 13. ]

Разделим обе стороны на 5: [ x = \frac{13}{5}. ]

Шаг 4: Найдем (y), подставив (x = \frac{13}{5}) в первое уравнение.

Теперь подставим значение (x = \frac{13}{5}) в выражение (y = 5 - x): [ y = 5 - \frac{13}{5}. ]

Приведем (5) к общему знаменателю: [ y = \frac{25}{5} - \frac{13}{5}. ]

Вычтем дроби: [ y = \frac{12}{5}. ]

Ответ:

Решением системы уравнений является: [ x = \frac{13}{5}, \quad y = \frac{12}{5}. ]

Или в виде пары: [ \left(\frac{13}{5}, \frac{12}{5}\right). ]