Решите систему уравнений {xy+x^2=4 y=x+2

x = 1, y = 3

Для решения данной системы уравнений {xy+x^2=4, y=x+2 необходимо подставить выражение для y из второго уравнения в первое уравнение. Таким образом, получаем уравнение x(x+2) + x^2 = 4, которое преобразуется в x^2 + 2x + x^2 = 4, и в итоге получаем уравнение 2x^2 + 2x - 4 = 0. Далее решаем квадратное уравнение, находим значения x1 и x2, и подставляем их обратно в уравнение y=x+2, чтобы найти соответствующие значения y1 и y2. Таким образом, система уравнений будет иметь два решения: {(1,3), (-2,0)}.

Для решения данной системы уравнений:

1. ( xy + x^2 = 4 )
2. ( y = x + 2 )

мы можем использовать метод подстановки. Подставим выражение для ( y ) из второго уравнения во первое уравнение.

Итак, подставляем:

[ x(x + 2) + x^2 = 4 ]

Раскроем скобки:

[ x^2 + 2x + x^2 = 4 ]

Объединим подобные члены:

[ 2x^2 + 2x = 4 ]

Теперь упростим уравнение, разделив все его члены на 2:

[ x^2 + x = 2 ]

Перенесем 2 в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

[ x^2 + x - 2 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы квадратичного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ), где:

[ a = 1, \, b = 1, \, c = -2 ]

Формула для корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Подставим наши значения:

[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} ]

[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} ]

[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} ]

Получаем два возможных значения для ( x ):

1. ( x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 )
2. ( x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 )

Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого ( x ), используя уравнение ( y = x + 2 ).

Для ( x = 1 ):

[ y = 1 + 2 = 3 ]

Для ( x = -2 ):

[ y = -2 + 2 = 0 ]

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. ( (x, y) = (1, 3) )
2. ( (x, y) = (-2, 0) )

Это означает, что пара ((x, y)) может принимать значения ((1, 3)) или ((-2, 0)), чтобы удовлетворять обоим уравнениям системы.