Решите уравнение 1:(X+6)+2:(Х-2)=2:(Х-6) -дробное уравнение знаменатель в ()

Для решения данного уравнения сначала приведем все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет (x+6)(x-2)(x-6), поэтому умножим каждую дробь на соответствующий множитель, чтобы избавиться от знаменателей:

1/(x+6) (x-2)(x-6) + 2/(x-2) (x+6)(x-6) = 2/(x-6) * (x+6)(x-2)

После упрощения этого уравнения, получим:

(x-2) + 2(x+6) = 2(x-6)

Раскрываем скобки:

x - 2 + 2x + 12 = 2x - 12

Собираем все переменные в одну часть уравнения:

3x + 10 = 2x - 12

3x - 2x = -12 - 10

x = -22

Таким образом, корень уравнения равен -22.

Чтобы решить уравнение

[ \frac{1}{x+6} + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{x-6}, ]

нужно сначала найти общий знаменатель для всех дробей, а затем избавиться от дробей.

Шаг 1: Найдите общий знаменатель

Знаменатели в уравнении: (x+6), (x-2), и (x-6). Общий знаменатель будет произведением всех трех выражений:

[ (x+6)(x-2)(x-6) ]

Шаг 2: Преобразуйте уравнение

Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

[ (x+6)(x-2)(x-6) \cdot \frac{1}{x+6} + (x+6)(x-2)(x-6) \cdot \frac{2}{x-2} = (x+6)(x-2)(x-6) \cdot \frac{2}{x-6} ]

Это упростится до:

[ (x-2)(x-6) + 2(x+6)(x-6) = 2(x+6)(x-2) ]

Шаг 3: Раскройте скобки

Раскроем скобки и упростим каждую часть:

1. ((x-2)(x-6) = x^2 - 6x - 2x + 12 = x^2 - 8x + 12)

2. (2(x+6)(x-6) = 2(x^2 - 36) = 2x^2 - 72)

3. (2(x+6)(x-2) = 2(x^2 + 4x - 12) = 2x^2 + 8x - 24)

Подставим эти выражения в уравнение:

[ x^2 - 8x + 12 + 2x^2 - 72 = 2x^2 + 8x - 24 ]

Шаг 4: Упростите уравнение

Сложите и вычтите все члены:

[ 3x^2 - 8x - 60 = 2x^2 + 8x - 24 ]

Перенесите все члены на одну сторону:

[ 3x^2 - 8x - 60 - 2x^2 - 8x + 24 = 0 ]

Упростите:

[ x^2 - 16x - 36 = 0 ]

Шаг 5: Решите квадратное уравнение

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 1), (b = -16), (c = -36):

Дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 256 + 144 = 400 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 20}{2} ]

[ x_1 = \frac{16 + 20}{2} = 18, \quad x_2 = \frac{16 - 20}{2} = -2 ]

Шаг 6: Проверка корней

Проверим найденные корни на наличие в исходном уравнении:

1. Подставив (x = 18), все выражения в знаменателях положительные: (18 + 6), (18 - 2), (18 - 6).

2. Подставив (x = -2), выражение (x-2 = -4) не является нулем, но (-2 + 6 = 4) и (-2 - 6 = -8) также не равны нулю.

Таким образом, оба корня допустимы.

Итак, решения уравнения: (x = 18) и (x = -2).

Уравнение: 1/(x+6) + 2/(x-2) = 2/(x-6) Решение: x = -4