Решите уравнение 24x(x+1)=4x^2-7

Для решения уравнения ( 24x(x+1) = 4x^2 - 7 ) сначала приведём его к стандартному виду квадратного уравнения.

Шаг 1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

[ 24x(x+1) = 24x^2 + 24x ]

Теперь уравнение выглядит так: [ 24x^2 + 24x = 4x^2 - 7 ]

Шаг 2. Перенесём все члены из правой части в левую, чтобы уравнение приняло вид ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ 24x^2 + 24x - 4x^2 + 7 = 0 ]

Сгруппируем подобные члены: [ (24x^2 - 4x^2) + 24x + 7 = 0 ]

[ 20x^2 + 24x + 7 = 0 ]

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение ( 20x^2 + 24x + 7 = 0 ) с помощью дискриминанта.

Квадратное уравнение имеет вид: [ ax^2 + bx + c = 0 ] Здесь: [ a = 20, \, b = 24, \, c = 7 ]

Формула для дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ]

Подставляем значения ( a ), ( b ) и ( c ): [ D = 24^2 - 4 \cdot 20 \cdot 7 ]

[ D = 576 - 560 = 16 ]

Шаг 4. Найдём корни уравнения с помощью формулы:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем значения ( b = 24 ), ( D = 16 ), ( a = 20 ): [ x = \frac{-24 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 20} ]

[ x = \frac{-24 \pm 4}{40} ]

Теперь найдём два корня:

1. Для ( x_1 ): [ x_1 = \frac{-24 + 4}{40} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2} ]

2. Для ( x_2 ): [ x_2 = \frac{-24 - 4}{40} = \frac{-28}{40} = -\frac{7}{10} ]

Ответ:

Корни уравнения: [ x_1 = -\frac{1}{2}, \, x_2 = -\frac{7}{10} ]

Сначала упростим уравнение:

[ 24x(x+1) = 4x^2 - 7 ]

Распределяем 24x:

[ 24x^2 + 24x = 4x^2 - 7 ]

Переносим все в одну сторону:

[ 24x^2 + 24x - 4x^2 + 7 = 0 ]

Упрощаем:

[ 20x^2 + 24x + 7 = 0 ]

Теперь используем формулу дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 20 \cdot 7 = 576 - 560 = 16 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два решения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm 4}{40} ]

Решения:

[ x_1 = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2} ] [ x_2 = \frac{-28}{40} = -\frac{7}{10} ]

Ответ: ( x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = -\frac{7}{10} )

Чтобы решить уравнение ( 24x(x+1) = 4x^2 - 7 ), начнем с его упрощения и переноса всех членов в одну сторону:

1. Раскроем скобки с левой стороны: [ 24x(x+1) = 24x^2 + 24x ]

2. Теперь запишем уравнение с учетом этого: [ 24x^2 + 24x = 4x^2 - 7 ]

3. Переносим все члены в одну сторону, вычитая ( 4x^2 ) и добавляя ( 7 ): [ 24x^2 + 24x - 4x^2 + 7 = 0 ]

4. Упрощаем уравнение: [ (24x^2 - 4x^2) + 24x + 7 = 0 ] [ 20x^2 + 24x + 7 = 0 ]

Теперь у нас есть квадратное уравнение ( 20x^2 + 24x + 7 = 0 ).

1. Мы можем использовать дискриминант для его решения. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле: [ D = b^2 - 4ac ] где ( a = 20 ), ( b = 24 ), ( c = 7 ).

   Подставим значения: [ D = 24^2 - 4 \cdot 20 \cdot 7 ] [ D = 576 - 560 = 16 ]

2. Поскольку дискриминант положителен (( D > 0 )), уравнение имеет два различных действительных корня. Теперь найдем корни с помощью формулы: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

   Подставляем значения: [ x = \frac{-24 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 20} ] [ x = \frac{-24 \pm 4}{40} ]

   Теперь найдем два корня:

   • Первый корень: [ x_1 = \frac{-24 + 4}{40} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2} ]
   • Второй корень: [ x_2 = \frac{-24 - 4}{40} = \frac{-28}{40} = -\frac{7}{10} ]

Таким образом, уравнение ( 24x(x+1) = 4x^2 - 7 ) имеет два решения: [ x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{7}{10}. ]