Решите уравнение $2/5$^х= $4/9$^х/2

Давайте решим уравнение $(\frac{2}{5}$^x = $\frac{4}{9}$^{x/2}).

Сначала преобразуем правую часть уравнения для удобства решения. Заметим, что $(\frac{4}{9}$^{x/2} = $\frac{2^2}{3^2}$^{x/2} = $\frac{2}{3}$^x).

Теперь у нас есть уравнение: $(\frac{2}{5}{)}^x=(\frac{2}{3}{)}^x$

Поскольку основания степеней различны и положительны, а показатели степеней одинаковы, единственный способ, чтобы левая и правая части уравнения были равны — это чтобы обе степени были равны нулю. Таким образом, рассматриваем случай: $x=0$

Проверяем это решение: $(\frac{2}{5}{)}^0=1,(\frac{2}{3}{)}^0=1$ Обе части равны, значит, $x=0$ действительно является решением уравнения.

Теперь рассмотрим возможность других решений. Так как функции $f(x$ = $\frac{2}{5}$^x) и $g(x$ = $\frac{2}{3}$^x) являются строго монотонными $убывающими,таккакоснованияменьше1$ и непрерывными, и они пересекаются только в одной точке $x=0$, других решений у данного уравнения нет.

Итак, единственное решение уравнения $(\frac{2}{5}$^x = $\frac{4}{9}$^{x/2}) — это $x=0$.

Для решения данного уравнения, необходимо привести обе стороны уравнения к одной основе. Для этого воспользуемся свойствами степеней:

$2/5$^x = $4/9$^$x/2$

Преобразуем дроби к общему знаменателю:

$2^x$ / $5^x$ = $4^{(}x/2$) / $9^{(}x/2$)

Далее, воспользуемся свойствами степеней:

$2^x$ / $5^x$ = (2^x 2^x) / (3^x 3^x)

Таким образом, получаем:

$2^x$ / $5^x$ = $2^{(}2x$) / $3^{(}2x$)

Теперь, сравниваем обе стороны уравнения:

2^x = 2^$2x$ 5^x = 3^$2x$

Отсюда видно, что x = 2x, следовательно, x = 0.