Решите уравнение (2/5)^х= (4/9)^х/2

Давайте решим уравнение ((\frac{2}{5})^x = (\frac{4}{9})^{x/2}).

Сначала преобразуем правую часть уравнения для удобства решения. Заметим, что ((\frac{4}{9})^{x/2} = (\frac{2^2}{3^2})^{x/2} = (\frac{2}{3})^x).

Теперь у нас есть уравнение: [ (\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{3})^x ]

Поскольку основания степеней различны и положительны, а показатели степеней одинаковы, единственный способ, чтобы левая и правая части уравнения были равны — это чтобы обе степени были равны нулю. Таким образом, рассматриваем случай: [ x = 0 ]

Проверяем это решение: [ (\frac{2}{5})^0 = 1, \quad (\frac{2}{3})^0 = 1 ] Обе части равны, значит, (x = 0) действительно является решением уравнения.

Теперь рассмотрим возможность других решений. Так как функции (f(x) = (\frac{2}{5})^x) и (g(x) = (\frac{2}{3})^x) являются строго монотонными (убывающими, так как основания меньше 1) и непрерывными, и они пересекаются только в одной точке (x = 0), других решений у данного уравнения нет.

Итак, единственное решение уравнения ((\frac{2}{5})^x = (\frac{4}{9})^{x/2}) — это (x = 0).

Для решения данного уравнения, необходимо привести обе стороны уравнения к одной основе. Для этого воспользуемся свойствами степеней:

(2/5)^x = (4/9)^(x/2)

Преобразуем дроби к общему знаменателю:

(2^x) / (5^x) = (4^(x/2)) / (9^(x/2))

Далее, воспользуемся свойствами степеней:

(2^x) / (5^x) = (2^x 2^x) / (3^x 3^x)

Таким образом, получаем:

(2^x) / (5^x) = (2^(2x)) / (3^(2x))

Теперь, сравниваем обе стороны уравнения:

2^x = 2^(2x) 5^x = 3^(2x)

Отсюда видно, что x = 2x, следовательно, x = 0.