Решите уравнение 2sin^2x-sinx=0

Чтобы решить уравнение (2\sin^2x - \sin x = 0), следуем следующим шагам:

1. Вынесение общего множителя: Уравнение можно переписать в виде: [ \sin x (2\sin x - 1) = 0 ] Здесь мы вынесли (\sin x) как общий множитель.

2. Решение каждого множителя: Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

   a) (\sin x = 0)

   b) (2\sin x - 1 = 0)

3. Решение первого уравнения: (\sin x = 0)

   Синус равен нулю в точках: [ x = k\pi, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} ] Это все действительные числа, кратные (\pi).

4. Решение второго уравнения: (2\sin x - 1 = 0)

   Решим его относительно (\sin x): [ 2\sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = \frac{1}{2} ]

   Синус равен (\frac{1}{2}) в следующих точках: [ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} ]

5. Формирование общего решения: Таким образом, общее решение уравнения (2\sin^2x - \sin x = 0) будет объединением решений из пунктов 3 и 4: [ x = k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad \text{где } k, n \in \mathbb{Z} ]

Это и будет полное решение данного тригонометрического уравнения.

Для решения уравнения 2sin^2x - sinx = 0 используем метод подстановки. Обозначим sinx = t. Тогда уравнение примет вид 2t^2 - t = 0. Факторизуем его: t(2t - 1) = 0. Получаем два возможных значения t: t = 0 и t = 1/2.

Теперь заменим sinx обратно: sinx = 0 и sinx = 1/2. Для первого случая sinx = 0, что означает, что x = kπ, где k - целое число.

Для второго случая sinx = 1/2, это соответствует углу π/6 или 30 градусов. Таким образом, x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.

Итак, решения уравнения 2sin^2x - sinx = 0: x = kπ, x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn, где k и n - целые числа.