РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 3^(x^2-x)=9

x=2, x=-1.

Чтобы решить уравнение ( 3^{x^2 - x} = 9 ), сначала преобразуем его к более удобной форме. Заметим, что 9 можно представить как степень тройки:

[ 9 = 3^2 ]

Теперь уравнение можно записать так:

[ 3^{x^2 - x} = 3^2 ]

Так как основания степеней одинаковые, мы можем приравнять их показатели:

[ x^2 - x = 2 ]

Получаем квадратное уравнение:

[ x^2 - x - 2 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение методом разложения на множители. Найдем два числа, произведение которых равно свободному члену (-2), а сумма равна коэффициенту при ( x ) (-1). Эти числа -2 и 1:

[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0 ]

Приравниваем каждую скобку к нулю и находим корни уравнения:

1. ( x - 2 = 0 ) [ x = 2 ]

2. ( x + 1 = 0 ) [ x = -1 ]

Таким образом, уравнение ( 3^{x^2 - x} = 9 ) имеет два решения:

[ x = 2 ] [ x = -1 ]

Проверим эти решения, подставив их обратно в исходное уравнение:

1. Для ( x = 2 ): [ 3^{2^2 - 2} = 3^{4 - 2} = 3^2 = 9 ] Уравнение выполняется.

2. Для ( x = -1 ): [ 3^{(-1)^2 - (-1)} = 3^{1 + 1} = 3^2 = 9 ] Уравнение также выполняется.

Таким образом, оба найденных значения удовлетворяют исходному уравнению. Ответ:

[ x = 2 ] [ x = -1 ]

Для решения данного уравнения сначала преобразуем уравнение:

3^(x^2-x) = 9

Так как 9 = 3^2, то можно записать уравнение в виде:

3^(x^2-x) = 3^2

Далее применим свойство логарифмирования: если a^x = a^y, то x = y. Применяя это свойство, получаем:

x^2 - x = 2

x^2 - x - 2 = 0

Далее решаем получившееся квадратное уравнение:

D = (-1)^2 - 41(-2) = 1 + 8 = 9

x1,2 = (-(-1) ± √9) / 2*1

x1 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2 x2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Итак, решения уравнения x^2 - x = 2: x1 = 2 и x2 = -1.