РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ
3^(x^2-x)=9
РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ
3^(x^2-x)=9
x=2, x=-1.
Чтобы решить уравнение ( 3^{x^2 - x} = 9 ), сначала преобразуем его к более удобной форме. Заметим, что 9 можно представить как степень тройки:
[ 9 = 3^2 ]
Теперь уравнение можно записать так:
[ 3^{x^2 - x} = 3^2 ]
Так как основания степеней одинаковые, мы можем приравнять их показатели:
[ x^2 - x = 2 ]
Получаем квадратное уравнение:
[ x^2 - x - 2 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение методом разложения на множители. Найдем два числа, произведение которых равно свободному члену (-2), а сумма равна коэффициенту при ( x ) (-1). Эти числа -2 и 1:
[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0 ]
Приравниваем каждую скобку к нулю и находим корни уравнения:
( x - 2 = 0 ) [ x = 2 ]
( x + 1 = 0 ) [ x = -1 ]
Таким образом, уравнение ( 3^{x^2 - x} = 9 ) имеет два решения:
[ x = 2 ] [ x = -1 ]
Проверим эти решения, подставив их обратно в исходное уравнение:
Для ( x = 2 ): [ 3^{2^2 - 2} = 3^{4 - 2} = 3^2 = 9 ] Уравнение выполняется.
Для ( x = -1 ): [ 3^{(-1)^2 - (-1)} = 3^{1 + 1} = 3^2 = 9 ] Уравнение также выполняется.
Таким образом, оба найденных значения удовлетворяют исходному уравнению. Ответ:
[ x = 2 ] [ x = -1 ]
Для решения данного уравнения сначала преобразуем уравнение:
3^(x^2-x) = 9
Так как 9 = 3^2, то можно записать уравнение в виде:
3^(x^2-x) = 3^2
Далее применим свойство логарифмирования: если a^x = a^y, то x = y. Применяя это свойство, получаем:
x^2 - x = 2
x^2 - x - 2 = 0
Далее решаем получившееся квадратное уравнение:
D = (-1)^2 - 41(-2) = 1 + 8 = 9
x1,2 = (-(-1) ± √9) / 2*1
x1 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2 x2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1
Итак, решения уравнения x^2 - x = 2: x1 = 2 и x2 = -1.
