Решите уравнение 6sin^2x=5sinxcosx-cos^2x

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его к более удобному виду. Используем формулы двойного угла: 6sin^2x = 5sinxcosx - cos^2x 6sin^2x = 5sinxcosx - (1 - sin^2x) 6sin^2x = 5sinxcosx - 1 + sin^2x

Теперь заменим sin^2x на 1 - cos^2x: 6(1 - cos^2x) = 5sinxcosx - 1 + sin^2x 6 - 6cos^2x = 5sinxcosx - 1 + 1 - cos^2x 6 - 6cos^2x = 5sinxcosx + cos^2x 6 - 6cos^2x - cos^2x = 5sinxcosx 6 - 7cos^2x = 5sinxcosx

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами: 6 - 7(1 - sin^2x) = 5sinx(1 - sin^2x) 6 - 7 + 7sin^2x = 5sinx - 5sin^3x 7sin^2x - 5sin^3x = 5sinx - 13

Преобразуем уравнение к виду: 5sin^3x - 7sin^2x + 5sinx - 13 = 0

Данное уравнение не может быть решено аналитически. Можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенное значение x.

Решим уравнение ( 6\sin^2x = 5\sin x \cos x - \cos^2 x ).

Для начала перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества. Напомним, что (\sin^2 x + \cos^2 x = 1). Это тождество поможет нам преобразовать наше уравнение.

Перепишем уравнение: [ 6\sin^2 x + \cos^2 x = 5\sin x \cos x. ]

Теперь заменим (\cos^2 x) выражением из основного тригонометрического тождества: [ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x. ]

Подставим это в уравнение: [ 6\sin^2 x + (1 - \sin^2 x) = 5\sin x \cos x. ]

Упростим выражение: [ 6\sin^2 x + 1 - \sin^2 x = 5\sin x \cos x, ] [ 5\sin^2 x + 1 = 5\sin x \cos x. ]

Теперь сделаем замену: ( \sin x = t ). Тогда ( \cos x = \sqrt{1 - t^2} ). Подставим это в уравнение: [ 5t^2 + 1 = 5t \sqrt{1 - t^2}. ]

Рассмотрим обе части уравнения. Избавимся от квадратного корня, возведя обе стороны в квадрат: [ (5t^2 + 1)^2 = (5t \sqrt{1 - t^2})^2, ] [ 25t^4 + 10t^2 + 1 = 25t^2 (1 - t^2), ] [ 25t^4 + 10t^2 + 1 = 25t^2 - 25t^4. ]

Перенесем все на одну сторону уравнения: [ 25t^4 + 10t^2 + 1 - 25t^2 + 25t^4 = 0, ] [ 50t^4 - 15t^2 + 1 = 0. ]

Это квадратное уравнение относительно ( t^2 ). Обозначим ( u = t^2 ): [ 50u^2 - 15u + 1 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac, ] [ D = (-15)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 1, ] [ D = 225 - 200, ] [ D = 25. ]

Теперь найдем корни уравнения: [ u{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, ] [ u{1,2} = \frac{15 \pm 5}{100}, ] [ u_1 = \frac{20}{100} = 0.2, ] [ u_2 = \frac{10}{100} = 0.1. ]

Поскольку ( u = t^2 ), то есть ( t = \sin x ), найдем значения ( t ): [ t_1 = \sqrt{0.2} = \pm \sqrt{0.2}, ] [ t_2 = \sqrt{0.1} = \pm \sqrt{0.1}. ]

Таким образом, у нас есть четыре значения для ( \sin x ): [ \sin x = \sqrt{0.2}, \sin x = -\sqrt{0.2}, \sin x = \sqrt{0.1}, \sin x = -\sqrt{0.1}. ]

Теперь найдем ( x ) для каждого случая:

1. (\sin x = \sqrt{0.2}): [ x = \arcsin (\sqrt{0.2}) + 2k\pi, ] [ x = \pi - \arcsin (\sqrt{0.2}) + 2k\pi. ]

2. (\sin x = -\sqrt{0.2}): [ x = -\arcsin (\sqrt{0.2}) + 2k\pi, ] [ x = \pi + \arcsin (\sqrt{0.2}) + 2k\pi. ]

3. (\sin x = \sqrt{0.1}): [ x = \arcsin (\sqrt{0.1}) + 2k\pi, ] [ x = \pi - \arcsin (\sqrt{0.1}) + 2k\pi. ]

4. (\sin x = -\sqrt{0.1}): [ x = -\arcsin (\sqrt{0.1}) + 2k\pi, ] [ x = \pi + \arcsin (\sqrt{0.1}) + 2k\pi. ]

Где ( k ) — целое число. Это и есть решения уравнения ( 6\sin^2 x = 5\sin x \cos x - \cos^2 x ).