Решите уравнение: а) x^4=20 б) x^8=-36 в) 64x^3=1 г) x^3+8=0

а) Для решения уравнения x^4 = 20 необходимо извлечь корень четвертой степени из обеих сторон уравнения. Таким образом, x = ±√(20) = ±2√5.

б) Уравнение x^8 = -36 можно переписать в виде x^8 + 36 = 0. Для решения данного уравнения можно воспользоваться формулой (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b). Таким образом, x^8 + 36 = (x^4 + 6)(x^4 - 6) = 0. Далее решаем полученные квадратные уравнения: x^4 + 6 = 0 и x^4 - 6 = 0. Получаем решения x = ±√(-6) и x = ±√6.

в) Уравнение 64x^3 = 1 можно переписать в виде x^3 = 1/64. Для решения данного уравнения необходимо извлечь корень третьей степени из обеих сторон уравнения: x = ∛(1/64) = 1/4.

г) Уравнение x^3 + 8 = 0 можно переписать в виде x^3 = -8. Для решения данного уравнения необходимо извлечь корень третьей степени из обеих сторон уравнения: x = ∛(-8) = -2.

Давайте решим предложенные уравнения по очереди:

а) ( x^4 = 20 )

Чтобы решить это уравнение, извлечем корень четвертой степени из обеих частей: [ x = \pm \sqrt[4]{20} ] [ x = \pm \sqrt{2\sqrt{5}} ] Таким образом, уравнение имеет четыре решения: ( x = \sqrt{2\sqrt{5}}, -\sqrt{2\sqrt{5}}, i\sqrt{2\sqrt{5}}, -i\sqrt{2\sqrt{5}} ).

б) ( x^8 = -36 )

Уравнение вида ( x^8 = -36 ) не имеет реальных решений, так как восьмая степень любого действительного числа не может быть отрицательной. Однако, уравнение имеет комплексные решения. Представим (-36) в экспоненциальной форме: [ x^8 = 36 \cdot e^{i(\pi + 2k\pi)} ] где ( k ) — целое число. Тогда [ x = \sqrt[8]{36} \cdot e^{i\left(\frac{\pi + 2k\pi}{8}\right)} ] [ x = \sqrt[8]{36} \cdot e^{i\left(\frac{\pi(1 + 2k)}{8}\right)} ] где ( k = 0, 1, 2, ., 7 ). Это даст нам 8 комплексных корней.

в) ( 64x^3 = 1 )

Делим обе части уравнения на 64: [ x^3 = \frac{1}{64} ] Извлечем кубический корень: [ x = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4} ] Так как кубические корни могут быть также комплексными, рассмотрим комплексные корни: [ x = \frac{1}{4} \cdot e^{i\left(\frac{2\pi k}{3}\right)} ] где ( k = 0, 1, 2 ). Это даст нам три значения для ( x ).

г) ( x^3 + 8 = 0 )

Перенесем 8 в правую сторону: [ x^3 = -8 ] [ x = -2 ] Это уравнение также имеет комплексные корни, которые можно найти, используя формулу кубических корней из комплексных чисел: [ x = -2 \cdot e^{i\left(\frac{2\pi k}{3}\right)} ] где ( k = 0, 1, 2 ). Это даст три значения ( x ), включая действительный корень ( x = -2 ).

Таким образом, мы получили решения для каждого из уравнений в задаче.