Решите уравнение: f'(x)=0, где f(x)=x^3+9x^2+27x-5

Для нахождения точек экстремума функции f(x) необходимо найти производную данной функции и приравнять ее к нулю: f'(x) = 3x^2 + 18x + 27

Теперь приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения: 3x^2 + 18x + 27 = 0 Поделим все коэффициенты на 3: x^2 + 6x + 9 = 0 (x + 3)^2 = 0 x + 3 = 0 x = -3

Таким образом, получили единственную точку экстремума функции f(x), которая равна x = -3.

Чтобы решить уравнение ( f'(x) = 0 ), где ( f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x - 5 ), нам сначала нужно найти производную функции ( f(x) ).

1. Найдем производную ( f(x) ):

   Функция ( f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x - 5 ).

   Производная ( f'(x) ) будет: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(9x^2) + \frac{d}{dx}(27x) - \frac{d}{dx}(5) ] [ f'(x) = 3x^2 + 18x + 27 ]

2. Решим уравнение ( f'(x) = 0 ):

   Теперь решим уравнение: [ 3x^2 + 18x + 27 = 0 ]

   Упростим это уравнение, разделив все члены на 3: [ x^2 + 6x + 9 = 0 ]

3. Решим квадратное уравнение:

   Это квадратное уравнение можно решить либо используя дискриминант, либо заметив, что оно представляет собой полный квадрат.

   ( x^2 + 6x + 9 ) можно переписать как: [ (x + 3)^2 = 0 ]

   Таким образом, получаем: [ x + 3 = 0 ]

   Отсюда находим: [ x = -3 ]

4. Ответ:

   Уравнение ( f'(x) = 0 ) имеет единственный корень ( x = -3 ). Это означает, что в точке ( x = -3 ) функция ( f(x) ) имеет стационарную точку, которая может быть минимумом, максимумом или точкой перегиба, в зависимости от второго производного анализа.