Решите уравнение, используя введения новой переменной (2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0

Для решения уравнения ((2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0) с введением новой переменной, следуйте следующим шагам:

1. Введение новой переменной: Обозначим ( t = 2x^2 + x ). Тогда уравнение примет вид: [ (t - 1)(t - 4) + 2 = 0 ]

2. Раскрытие скобок и упрощение: Раскроем скобки и упростим выражение: [ (t - 1)(t - 4) + 2 = t^2 - 5t + 4 + 2 = t^2 - 5t + 6 = 0 ]

3. Решение квадратного уравнения: Найдем корни квадратного уравнения ( t^2 - 5t + 6 = 0 ). Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = 6 ). Подставим эти значения в формулу: [ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} ] Получаем два корня: [ t_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 ] [ t_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 ]

4. Возвращение к первоначальной переменной: Теперь вспомним, что ( t = 2x^2 + x ). Следовательно, нам нужно решить два уравнения: [ 2x^2 + x = 3 ] [ 2x^2 + x = 2 ]

5. Решение уравнений:

   Для уравнения ( 2x^2 + x = 3 ): Перенесем все члены уравнения в левую часть и решим квадратное уравнение: [ 2x^2 + x - 3 = 0 ] Используем формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 2 ), ( b = 1 ), ( c = -3 ). Подставим эти значения: [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} ] Получаем два корня: [ x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1 ] [ x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2} ]

   Для уравнения ( 2x^2 + x = 2 ): Перенесем все члены уравнения в левую часть и решим квадратное уравнение: [ 2x^2 + x - 2 = 0 ] Используем формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 2 ), ( b = 1 ), ( c = -2 ). Подставим эти значения: [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4} ] Получаем два корня: [ x_3 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4} ] [ x_4 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4} ]

6. Ответ: Корни исходного уравнения: [ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{3}{2}, \quad x_3 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}, \quad x_4 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4} ]

Для решения данного уравнения сначала введем новую переменную, например, обозначим ( u = 2x^2 + x ). Тогда уравнение примет вид ( u^2 - 5u + 2 = 0 ).

Далее используем квадратное уравнение для нахождения корней переменной ( u ): [ u_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} ]

Теперь заменим обратно переменную ( u ) на выражение ( 2x^2 + x ): [ 2x^2 + x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} ]

Разбиваем на два уравнения:

1. ( 2x^2 + x = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} )
2. ( 2x^2 + x = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} )

Далее решаем каждое уравнение относительно переменной ( x ) и находим корни.