Решите уравнение, используя введения новой переменной $2x^2+x-1$$2x^2+x-4$+2=0

Для решения уравнения $(2x^2+x-1$$2x^2+x-4$ + 2 = 0) с введением новой переменной, следуйте следующим шагам:

1. Введение новой переменной: Обозначим $t=2x^2+x$. Тогда уравнение примет вид: $(t-1)(t-4)+2=0$

2. Раскрытие скобок и упрощение: Раскроем скобки и упростим выражение: $(t-1)(t-4)+2=t^2-5t+4+2=t^2-5t+6=0$

3. Решение квадратного уравнения: Найдем корни квадратного уравнения $t^2-5t+6=0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: $t=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ где $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Подставим эти значения в формулу: $t=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}$ Получаем два корня: $t_1=\frac{5+1}{2}=3$ $t_2=\frac{5-1}{2}=2$

4. Возвращение к первоначальной переменной: Теперь вспомним, что $t=2x^2+x$. Следовательно, нам нужно решить два уравнения: $2x^2+x=3$ $2x^2+x=2$

5. Решение уравнений:

   Для уравнения $2x^2+x=3$: Перенесем все члены уравнения в левую часть и решим квадратное уравнение: $2x^2+x-3=0$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ где $a=2$, $b=1$, $c=-3$. Подставим эти значения: $x=\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{4}=\frac{-1\pm 5}{4}$ Получаем два корня: $x_1=\frac{-1+5}{4}=1$ $x_2=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}$

   Для уравнения $2x^2+x=2$: Перенесем все члены уравнения в левую часть и решим квадратное уравнение: $2x^2+x-2=0$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ где $a=2$, $b=1$, $c=-2$. Подставим эти значения: $x=\frac{-1\pm \sqrt{1+16}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4}$ Получаем два корня: $x_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$ $x_4=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$

6. Ответ: Корни исходного уравнения: $x_1=1,x_2=-\frac{3}{2},x_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_4=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$

Для решения данного уравнения сначала введем новую переменную, например, обозначим $u=2x^2+x$. Тогда уравнение примет вид $u^2-5u+2=0$.

Далее используем квадратное уравнение для нахождения корней переменной $u$: $u_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$

Теперь заменим обратно переменную $u$ на выражение $2x^2+x$: $2x^2+x=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$

Разбиваем на два уравнения:

1. $2x^2+x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$
2. $2x^2+x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$

Далее решаем каждое уравнение относительно переменной $x$ и находим корни.