Решите уравнение: х в 4 степени - 15х в 2 степени - 16 =0

Для решения уравнения ( x^4 - 15x^2 - 16 = 0 ) можно использовать замену переменной. Давайте введем новую переменную ( y = x^2 ). Тогда уравнение преобразуется в:

[ y^2 - 15y - 16 = 0. ]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно ( y ). Для его решения воспользуемся формулой квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где ( a = 1 ), ( b = -15 ), ( c = -16 ). Подставим эти значения в формулу:

[ y = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1}. ]

Сначала вычислим дискриминант:

[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289. ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня. Продолжим решать:

[ y = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2}. ]

Поскольку ( \sqrt{289} = 17 ), подставим значение:

[ y_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16, ] [ y_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1. ]

Теперь вернемся к переменной ( x ). Напомним, что ( y = x^2 ). Таким образом, мы имеем два уравнения:

1. ( x^2 = 16 )
2. ( x^2 = -1 )

Решим каждое из них:

1. ( x^2 = 16 ) даёт два решения: ( x = \pm 4 ).
2. ( x^2 = -1 ) не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Однако, если рассматривать комплексные числа, то решениями будут: ( x = \pm i ).

Таким образом, у уравнения ( x^4 - 15x^2 - 16 = 0 ) есть следующие решения:

• Действительные: ( x = 4 ) и ( x = -4 ).
• Комплексные: ( x = i ) и ( x = -i ).

Для решения данного уравнения необходимо ввести замену, например, (y = x^2). Тогда уравнение примет вид: [y^2 - 15y - 16 = 0]

Далее, решим это квадратное уравнение, используя дискриминант: [D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289]

Таким образом, дискриминант положителен, следовательно, уравнение имеет два корня: [y_1 = \frac{15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{15 + 17}{2} = 16] [y_2 = \frac{15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{15 - 17}{2} = -1]

Теперь найдем корни исходного уравнения, зная значения y: [x^2 = 16 \implies x = \pm 4] [x^2 = -1 \implies \text{решений нет}]

Итак, уравнение (x^4 - 15x^2 - 16 = 0) имеет два корня: x = -4 и x = 4.