Решите уравнение Х³+2х²-9х-18=0

Для решения данного уравнения нам нужно найти корни кубического уравнения. Сначала попробуем найти один из корней методом подбора. Подберем некоторое число, подставим его в уравнение и проверим, является ли оно корнем уравнения.

Пробуем подставить x = 1: 1^3 + 21^2 - 91 - 18 = 1 + 2 - 9 - 18 = -24 ≠ 0

Пробуем подставить x = -1: (-1)^3 + 2(-1)^2 - 9(-1) - 18 = -1 + 2 + 9 - 18 = -8 ≠ 0

Пробуем подставить x = 2: 2^3 + 22^2 - 92 - 18 = 8 + 8 - 18 - 18 = 0

Таким образом, x = 2 - корень уравнения. Далее можно разделить исходное уравнение на (x - 2) и решить квадратное уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Для решения уравнения (x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0) сначала попробуем найти хотя бы один рациональный корень с использованием теоремы о рациональных корнях (также известной как метод проб и ошибок или метод деления уголком).

Шаг 1: Поиск рациональных корней

По теореме о рациональных корнях возможные рациональные корни уравнения имеют вид (\pm \frac{p}{q}), где (p) — делитель свободного члена (-18), а (q) — делитель старшего коэффициента (1). Делители числа -18: (\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18).

Пробуем подставить эти значения в уравнение:

• (x = 1): (1^3 + 2 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 - 18 = 1 + 2 - 9 - 18 = -24) (не корень).
• (x = -1): ((-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) - 18 = -1 + 2 + 9 - 18 = -8) (не корень).
• (x = 2): (2^3 + 2 \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 - 18 = 8 + 8 - 18 - 18 = -20) (не корень).
• (x = -2): ((-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 9 \cdot (-2) - 18 = -8 + 8 + 18 - 18 = 0) (корень).

Таким образом, (x = -2) является корнем уравнения.

Шаг 2: Деление многочлена

Теперь, когда мы знаем, что (x = -2) — корень уравнения, можем выполнить деление многочлена (x^3 + 2x^2 - 9x - 18) на (x + 2).

Выполним деление:

1. Разделим первый член (x^3) на (x), получаем (x^2).
2. Умножим (x^2) на (x + 2), получаем (x^3 + 2x^2).
3. Вычтем из исходного многочлена: ((x^3 + 2x^2 - 9x - 18) - (x^3 + 2x^2) = -9x - 18).
4. Разделим (-9x) на (x), получаем (-9).
5. Умножим (-9) на (x + 2), получаем (-9x - 18).
6. Вычтем: ((-9x - 18) - (-9x - 18) = 0).

После деления мы получаем (x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = (x + 2)(x^2 - 9)).

Шаг 3: Решение оставшегося квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение (x^2 - 9 = 0).

1. Перепишем уравнение: (x^2 = 9).
2. Найдем корни: (x = \pm 3).

Итоговое решение

Таким образом, уравнение (x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0) имеет три корня: (x = -2), (x = 3) и (x = -3).