Решите уравнение Х^3+9х^2+15х-25=0
Решите уравнение Х^3+9х^2+15х-25=0
Рассмотрим уравнение ( x^3 + 9x^2 + 15x - 25 = 0 ).
Для начала, попробуем найти рациональные корни уравнения, используя теорему о рациональных корнях (теорема Виета). Согласно ей, если у уравнения (an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0) есть рациональный корень (\frac{p}{q}), то (p) — делитель свободного члена (a_0), а (q) — делитель старшего коэффициента (a_n).
В нашем случае:
Таким образом, возможные рациональные корни уравнения могут быть: ±1, ±5, ±25.
Проверим эти значения:
Теперь, чтобы найти остальные корни, разделим многочлен (x^3 + 9x^2 + 15x - 25) на (x - 1) (так как (x = 1) — корень) с помощью схемы Горнера или деления многочленов.
Используем схему Горнера:
[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 9 & 15 & -25 \ \hline & 1 & 10 & 25 & 0 \ \end{array} ]
Итак, после деления получаем многочлен второй степени: [ x^2 + 10x + 25 ]
Теперь решим квадратное уравнение (x^2 + 10x + 25 = 0) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0 ]
Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень (двойной): [ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2} = -5 ]
Таким образом, корни исходного уравнения (x^3 + 9x^2 + 15x - 25 = 0) следующие: [ x = 1, \quad x = -5, \quad x = -5 ]
Или, если записать их с учетом кратности: [ x = 1, \quad x = -5 \text{ (кратности 2)} ]
Это и есть решение уравнения.
Для решения данного уравнения нужно воспользоваться методом подбора корней или методом проб и ошибок. Первым шагом можно заметить, что если подставить в уравнение x = -5, то получится 0, что значит, что -5 является корнем уравнения.
Далее можем разделить исходное уравнение на (x + 5), чтобы найти остальные корни. После деления получим уравнение x^2 + 4x - 5 = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем еще два корня: x = 1 и x = -5.
Итак, уравнение x^3 + 9x^2 + 15x - 25 = 0 имеет три корня: x = -5, x = 1 и x = -5.
