Решите уравнение Х^3+9х^2+15х-25=0

Рассмотрим уравнение $x^3+9x^2+15x-25=0$.

Для начала, попробуем найти рациональные корни уравнения, используя теорему о рациональных корнях $теоремаВиета$. Согласно ей, если у уравнения (an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0) есть рациональный корень $\frac{p}{q}$, то $p$ — делитель свободного члена $a_0$, а $q$ — делитель старшего коэффициента $a_n$.

В нашем случае:

• Свободный член: -25. Делители: ±1, ±5, ±25.
• Старший коэффициент: 1. Делители: ±1.

Таким образом, возможные рациональные корни уравнения могут быть: ±1, ±5, ±25.

Проверим эти значения:

1. $x=1$: $1^3+9\cdot 1^2+15\cdot 1-25=1+9+15-25=0$ Получается, что $x=1$ является корнем уравнения.

Теперь, чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3+9x^2+15x-25$ на $x-1$ $таккак(x=1$ — корень) с помощью схемы Горнера или деления многочленов.

Используем схему Горнера:

$\text{Misplaced hline}$

Итак, после деления получаем многочлен второй степени: $x^2+10x+25$

Теперь решим квадратное уравнение $x^2+10x+25=0$ с помощью дискриминанта: $D=b^2-4ac={10}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0$

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень $двойной$: $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-10}{2}=-5$

Таким образом, корни исходного уравнения $x^3+9x^2+15x-25=0$ следующие: $x=1,x=-5,x=-5$

Или, если записать их с учетом кратности: $x=1,x=-5\text{ (кратности 2)}$

Это и есть решение уравнения.

Для решения данного уравнения нужно воспользоваться методом подбора корней или методом проб и ошибок. Первым шагом можно заметить, что если подставить в уравнение x = -5, то получится 0, что значит, что -5 является корнем уравнения.

Далее можем разделить исходное уравнение на $x+5$, чтобы найти остальные корни. После деления получим уравнение x^2 + 4x - 5 = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем еще два корня: x = 1 и x = -5.

Итак, уравнение x^3 + 9x^2 + 15x - 25 = 0 имеет три корня: x = -5, x = 1 и x = -5.