Рассмотрим уравнение .
Для начала, попробуем найти рациональные корни уравнения, используя теорему о рациональных корнях . Согласно ей, если у уравнения (an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0) есть рациональный корень , то — делитель свободного члена , а — делитель старшего коэффициента .
В нашем случае:
- Свободный член: -25. Делители: ±1, ±5, ±25.
- Старший коэффициент: 1. Делители: ±1.
Таким образом, возможные рациональные корни уравнения могут быть: ±1, ±5, ±25.
Проверим эти значения:
- :
Получается, что является корнем уравнения.
Теперь, чтобы найти остальные корни, разделим многочлен на — корень) с помощью схемы Горнера или деления многочленов.
Используем схему Горнера:
Итак, после деления получаем многочлен второй степени:
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень :
Таким образом, корни исходного уравнения следующие:
Или, если записать их с учетом кратности:
Это и есть решение уравнения.