Решите уравнение: х(х-2)(х+1)=х²(х-1)

Чтобы решить уравнение ( x(x-2)(x+1) = x^2(x-1) ), начнем с упрощения обеих сторон.

Шаг 1: Раскроем скобки

Сначала раскроем каждую часть уравнения.

Левая часть:

[ x(x-2)(x+1) ]

Сначала раскроем ( (x-2)(x+1) ):

[ (x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2 ]

Теперь умножим это на ( x ):

[ x(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x ]

Таким образом, левая часть уравнения становится:

[ x^3 - x^2 - 2x ]

Правая часть:

[ x^2(x-1) = x^3 - x^2 ]

Шаг 2: Запишем уравнение с упрощенными частями

Теперь у нас есть:

[ x^3 - x^2 - 2x = x^3 - x^2 ]

Шаг 3: Переносим все на одну сторону

Переносим все на одну сторону уравнения:

[ x^3 - x^2 - 2x - (x^3 - x^2) = 0 ]

Упростим:

[ -2x = 0 ]

Шаг 4: Решим полученное уравнение

Теперь решим уравнение:

[ -2x = 0 \implies x = 0 ]

Шаг 5: Проверка корней

Теперь необходимо проверить, является ли ( x = 0 ) корнем исходного уравнения:

Подставим ( x = 0 ):

Левая часть:

[ 0(0-2)(0+1) = 0 ]

Правая часть:

[ 0^2(0-1) = 0 ]

Обе стороны равны, значит, ( x = 0 ) — это корень.

Шаг 6: Проверка на дополнительный корень

Однако, стоит также проверить, есть ли дополнительные корни, например, с помощью факторизации.

Мы можем заметить, что в исходном уравнении ( x ) может быть равно 0, и также нам нужно учитывать случаи, когда ( x = 2 ) или ( x = -1 ) из множителей ( (x-2) ) и ( (x+1) ).

Шаг 7: Находим дополнительные корни

1. ( x - 2 = 0 \implies x = 2 )
2. ( x + 1 = 0 \implies x = -1 )

Шаг 8: Проверка дополнительных корней

1. Для ( x = 2 ):

   Левая часть:

   [ 2(2-2)(2+1) = 2 \cdot 0 \cdot 3 = 0 ]

   Правая часть:

   [ 2^2(2-1) = 4 \cdot 1 = 4 ]

   Не равны, значит, ( x = 2 ) — не корень.

2. Для ( x = -1 ):

   Левая часть:

   [ -1(-1-2)(-1+1) = -1 \cdot (-3) \cdot 0 = 0 ]

   Правая часть:

   [ (-1)^2(-1-1) = 1 \cdot (-2) = -2 ]

   Не равны, значит, ( x = -1 ) — не корень.

Заключение

Таким образом, единственным корнем уравнения ( x(x-2)(x+1) = x^2(x-1) ) является:

[ \boxed{0} ]

Рассмотрим уравнение:

[ x(x - 2)(x + 1) = x^2(x - 1). ]

Шаг 1: Раскрытие скобок

Начнем с раскрытия скобок по обе стороны уравнения.

Левая часть:

[ x(x - 2)(x + 1) = x[(x - 2)(x + 1)]. ] Раскроем скобки в выражении ((x - 2)(x + 1)): [ (x - 2)(x + 1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2. ] Теперь подставим это обратно: [ x(x - 2)(x + 1) = x(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x. ]

Правая часть:

[ x^2(x - 1) = x^3 - x^2. ]

Таким образом, уравнение становится: [ x^3 - x^2 - 2x = x^3 - x^2. ]

Шаг 2: Упростим уравнение

Вычтем из обеих частей (x^3 - x^2): [ x^3 - x^2 - 2x - (x^3 - x^2) = 0. ] Остается: [ -2x = 0. ]

Шаг 3: Найдем корни

Поделим на (-2) (при (x \neq 0), мы это уточним позже): [ x = 0. ]

Шаг 4: Проверка

Учитываем потерю корней:

Мы изначально предполагали, что (x \neq 0), так как деление на (x) в процессе решения могло исключить этот корень. Поэтому проверим (x = 0) отдельно:

1. Подставляем (x = 0) в исходное уравнение: [ 0.(.))?