Решите уравнение: х(х^2+2х+1)=2(х+1)

Для начала раскроем скобки в левой части уравнения:

х^3 + 2х^2 + х = 2х + 2

Теперь приведем все члены уравнения в одну сторону:

х^3 + 2х^2 + х - 2х - 2 = 0

Упростим выражение:

х^3 + 2х^2 - х - 2 = 0

Далее, попробуем найти корень уравнения методом подбора. Один из корней равен -1. Поделим уравнение на (х + 1):

х^2 + х - 2 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 1^2 - 4 1 (-2) = 1 + 8 = 9

x1 = (-1 + √9) / 2 = 2 / 2 = 1 x2 = (-1 - √9) / 2 = -4 / 2 = -2

Таким образом, уравнение имеет три корня: x = -1, x = 1, x = -2.

x = 1

Для решения данного уравнения начнем с раскрытия скобок и приведения подобных членов. Уравнение имеет вид:

[ x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1) ]

Раскроем скобки в левой части:

[ x^3 + 2x^2 + x = 2x + 2 ]

Теперь переносим все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:

[ x^3 + 2x^2 + x - 2x - 2 = 0 ] [ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 ]

Далее попробуем найти рациональные корни уравнения методом подбора или используя теорему Безу. Проверим, не является ли ( x = 1 ) корнем уравнения:

[ 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 ]

Таким образом, ( x = 1 ) действительно является корнем уравнения. Теперь разложим кубическое уравнение на множители:

[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(Ax^2 + Bx + C) ]

Для нахождения коэффициентов ( A ), ( B ), и ( C ) воспользуемся делением многочлена ( x^3 + 2x^2 - x - 2 ) на ( x - 1 ) методом синтетического деления или расписыванием:

[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(x^2 + 3x + 2) ]

Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 + 3x + 2 = 0 ). Это уравнение можно разложить на множители:

[ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) ]

Таким образом, получаем:

[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2) ]

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. ( x - 1 = 0 ) ( \Rightarrow ) ( x = 1 )
2. ( x + 1 = 0 ) ( \Rightarrow ) ( x = -1 )
3. ( x + 2 = 0 ) ( \Rightarrow ) ( x = -2 )

Итак, корни уравнения: ( x = 1 ), ( x = -1 ), и ( x = -2 ).