Решите уравнение: log1/3(x^2+3x-9)=-2 Желательно с объяснением! Заранее спасибо!

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его, используя свойство логарифма: log_a(b) = c эквивалентно a^c = b. Таким образом, уравнение примет вид:

1/3^(-2) = x^2 + 3x - 9 3^2 = x^2 + 3x - 9 9 = x^2 + 3x - 9 x^2 + 3x - 18 = 0

Далее решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = 3^2 - 41(-18) = 9 + 72 = 81

x1,2 = (-3 ± √81) / 2*1 x1,2 = (-3 ± 9) / 2 x1 = (6 / 2) = 3 x2 = (-12 / 2) = -6

Таким образом, уравнение log1/3(x^2+3x-9)=-2 имеет два корня: x1 = 3 и x2 = -6.

Для решения уравнения ( \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 9) = -2 ), начнем с понимания, что основание логарифма равно (\frac{1}{3}), что меньше 1. Вспомним, что логарифмическая функция ( \log_b(a) = c ) равносильна ( b^c = a ). Таким образом, преобразуем уравнение:

[ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 9) = -2 ] [ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = x^2 + 3x - 9 ]

Теперь вычислим ( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} ): [ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 ]

Таким образом, уравнение принимает вид: [ x^2 + 3x - 9 = 9 ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ x^2 + 3x - 18 = 0 ]

Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант ( D ) уравнения: [ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 ]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня. Вычислим их: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 9}{2} ] [ x_1 = \frac{-3 + 9}{2} = 3 ] [ x_2 = \frac{-3 - 9}{2} = -6 ]

Таким образом, корни уравнения: ( x_1 = 3 ) и ( x_2 = -6 ). Оба эти значения подходят под исходное уравнение, поскольку они обеспечивают положительное значение под логарифмом ( x^2 + 3x - 9 ) и удовлетворяют условию логарифма с основанием меньше 1.

Итак, уравнение ( \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 9) = -2 ) имеет два решения: ( x = 3 ) и ( x = -6 ).