Решите уравнение (sin2x+cosx)( корень из 3 + корень из (3tgx))=0 укажите корени уравнения принадлежащие...

Для решения данного уравнения, мы должны найти значения переменных x, при которых выражение (sin2x+cosx)(√3+√(3tgx)) равно нулю.

Первым шагом разберемся с уравнением (sin2x+cosx)=0: sin2x = -cosx 2sinxcosx = -cosx 2sinx = -1 sinx = -1/2

Таким образом, sinx = -1/2. Мы знаем, что sinx равен -1/2 на углах -π/6 и -5π/6.

Теперь разберемся с уравнением (√3+√(3tgx))=0: √3+√(3tgx) = 0 √3 = -√(3tgx) 3 = 3tgx tgx = 1 x = π/4

Итак, у нас два корня уравнения: x = -π/6 и x = -5π/6, которые принадлежат отрезку (-π; 3π/2).

Чтобы решить уравнение ((\sin 2x + \cos x)\left(\sqrt{3} + \sqrt{3\tan x}\right) = 0), необходимо рассмотреть каждый множитель отдельно и найти значения (x), при которых каждый из них равен нулю.

Шаг 1: Рассмотрим первый множитель (\sin 2x + \cos x = 0).

1. Используем тождество (\sin 2x = 2 \sin x \cos x), чтобы переписать уравнение: [ 2 \sin x \cos x + \cos x = 0. ]
2. Вынесем (\cos x) за скобки: [ \cos x (2 \sin x + 1) = 0. ]
3. Получаем два уравнения:
   • (\cos x = 0)
   • (2 \sin x + 1 = 0)

Решение уравнения (\cos x = 0):

[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Решение уравнения (2 \sin x + 1 = 0):

[ 2 \sin x = -1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = -\frac{1}{2}. ] [ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Шаг 2: Рассмотрим второй множитель (\sqrt{3} + \sqrt{3\tan x} = 0).

Такое выражение не может быть равно нулю, так как (\sqrt{3}) — это положительное число, и (\sqrt{3\tan x}) — либо положительное, либо не определено, если (\tan x) отрицательно. Следовательно, корней из этого уравнения нет.

Итог: Корни уравнения на интервале ((-π; \frac{3π}{2})).

Теперь найдем корни из первого множителя, принадлежащие заданному интервалу.

Решение уравнения (\cos x = 0):

[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n. ] Проверяем в интервале ((-π; \frac{3π}{2})):

• (n = -1), (x = -\frac{\pi}{2})
• (n = 0), (x = \frac{\pi}{2})
• (n = 1), (x = \frac{3\pi}{2}) (не входит в интервал)

Таким образом, из (\cos x = 0) получаем (x = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).

Решение уравнения (\sin x = -\frac{1}{2}):

[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n. ] Проверяем в интервале ((-π; \frac{3π}{2})):

• Для (x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n):
  • (n = -1), (x = -\frac{13\pi}{6}) (не входит в интервал)
  • (n = 0), (x = -\frac{\pi}{6})
  • (n = 1), (x = \frac{11\pi}{6}) (не входит в интервал)
• Для (x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n):
  • (n = -1), (x = -\frac{17\pi}{6}) (не входит в интервал)
  • (n = 0), (x = -\frac{5\pi}{6})
  • (n = 1), (x = \frac{7\pi}{6}) (не входит в интервал)

Таким образом, из (\sin x = -\frac{1}{2}) получаем (x = -\frac{\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}).

Ответ:

Корни уравнения на интервале ((-π; \frac{3π}{2})) — это (x = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}).