Решите уравнение: sin²x+sin x cos x-2cos²x=0

Решим уравнение ( \sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 ).

Для начала воспользуемся тригонометрическими тождествами. Мы знаем, что ( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x ). Подставим это в уравнение:

[ (1 - \cos^2 x) + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 ]

Упростим уравнение:

[ 1 - \cos^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 ]

Соберем все члены, содержащие ( \cos^2 x ):

[ 1 - 3\cos^2 x + \sin x \cos x = 0 ]

Теперь давайте выразим ( \sin x ) через ( \cos x ). Используя тождество ( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ), получаем:

[ \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} \quad \text{или} \quad \sin x = -\sqrt{1 - \cos^2 x} ]

Подставим ( \sin x ) в уравнение:

[ 1 - 3\cos^2 x + \sqrt{1 - \cos^2 x} \cos x = 0 ]

Теперь обозначим ( \cos x = y ). Тогда ( \sin x = \sqrt{1 - y^2} ), и уравнение преобразуется в:

[ 1 - 3y^2 + \sqrt{1 - y^2} y = 0 ]

Далее, чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[ (1 - 3y^2)^2 = (1 - y^2) y^2 ]

Раскроем скобки:

[ 1 - 6y^2 + 9y^4 = y^4 - y^2 ]

Соберем все члены в одну сторону:

[ 8y^4 - 5y^2 + 1 = 0 ]

Теперь сделаем замену ( z = y^2 ). Уравнение примет вид:

[ 8z^2 - 5z + 1 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 25 - 32 = -7 ]

Поскольку дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, уравнение ( \sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 ) не имеет действительных решений.

Таким образом, итоговый ответ: у уравнения нет действительных решений.

Давайте решим уравнение:

[ \sin^2x + \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0. ]

Шаг 1. Преобразуем выражение.

Напомним тригонометрическое тождество: [ \sin^2x + \cos^2x = 1. ] Из этого следует: [ \sin^2x = 1 - \cos^2x. ]

Подставим (\sin^2x = 1 - \cos^2x) в исходное уравнение:

[ (1 - \cos^2x) + \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0. ]

Упростим:

[ 1 - \cos^2x + \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0. ]

Объединим все слагаемые с (\cos^2x):

[ 1 - 3\cos^2x + \sin x \cos x = 0. ]

Шаг 2. Заменим (\sin x) на (\sqrt{1 - \cos^2x}).

Пусть (\cos x = t), где (t \in [-1, 1]). Тогда (\sin x = \pm\sqrt{1 - t^2}). Подставим это в уравнение:

[ 1 - 3t^2 + t \cdot \pm\sqrt{1 - t^2} = 0. ]

Шаг 3. Рассмотрим два случая.

1) Случай: (\sin x = \sqrt{1 - t^2}).

Уравнение становится:

[ 1 - 3t^2 + t \sqrt{1 - t^2} = 0. ]

Изолировать (t) здесь аналитически сложно, поэтому этот случай требует численного решения (или дальнейшего разложения).

2) Случай: (\sin x = -\sqrt{1 - t^2}).

Аналогично, получится:

[ 1 - 3t^2 - t \sqrt{1 - t^2} = 0. ]

Шаг 4. Упростим исходное уравнение другим способом.

Вернемся к исходному уравнению: [ \sin^2x + \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0. ]

Попробуем выразить всё через (\sin x). Напомним, что (\cos^2x = 1 - \sin^2x). Подставим это:

[ \sin^2x + \sin x \sqrt{1 - \sin^2x} - 2(1 - \sin^2x) = 0. ]

Упростим:

[ \sin^2x + \sin x \sqrt{1 - \sin^2x} - 2 + 2\sin^2x = 0. ]

[ 3\sin^2x + \sin x \sqrt{1 - \sin^2x} - 2 = 0. ]

Это уравнение также требует численного решения или дополнительных упрощений.

Шаг 5. Проверка частных решений.

Попробуем подставить некоторые стандартные значения углов, чтобы найти возможные решения. Например:

1. Если (x = 0): [ \sin^2(0) + \sin(0) \cos(0) - 2\cos^2(0) = 0 + 0 - 2 \neq 0. ]

2. Если (x = \frac{\pi}{2}): [ \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 - 0 = 1 \neq 0. ]

Итог.

Решение данного уравнения в общем виде требует численных методов или дополнительных преобразований. Однако аналитически его можно свести к уравнениям, включающим корни и степени тригонометрических функций.