Решите уравнение x-корень из х-6=0

Давайте решим уравнение ( x - \sqrt{x} - 6 = 0 ).

1. Первый шаг: Введем замену переменной. Обозначим ( \sqrt{x} = t ). Тогда ( x = t^2 ).

2. Второй шаг: Подставим замену в исходное уравнение. Получим: [ t^2 - t - 6 = 0 ]

3. Третий шаг: Решим квадратное уравнение. [ t^2 - t - 6 = 0 ] Квадратное уравнение можно решить с помощью формулы для корней: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -6 ): [ t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} ] [ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} ] [ t = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} ] [ t = \frac{1 \pm 5}{2} ] Таким образом, получаем два корня: [ t_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 ] [ t_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 ]

4. Четвертый шаг: Найдем значения ( x ). Помним, что мы ввели замену ( \sqrt{x} = t ). Должно выполняться условие ( t \geq 0 ), потому что квадратный корень не может быть отрицательным.

   Поэтому среди найденных корней ( t ) оставляем только неотрицательный корень: [ t = 3 ]

   Теперь вернемся к ( x ): [ \sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9 ]

5. Проверка: Подставим найденное значение ( x = 9 ) в исходное уравнение: [ 9 - \sqrt{9} - 6 = 9 - 3 - 6 = 0 ] Уравнение выполняется, поэтому ( x = 9 ) является решением.

Таким образом, решение уравнения ( x - \sqrt{x} - 6 = 0 ) равно: [ x = 9 ]

Для решения данного уравнения нужно привести его к квадратному виду. Для этого добавим к обеим сторонам уравнения корень из x:

x - √x - 6 + √x = √x

Теперь сложим подобные слагаемые:

x - 6 = √x

Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x - 6)^2 = (√x)^2

x^2 - 12x + 36 = x

Теперь приведем все слагаемые на одну сторону уравнения и решим квадратное уравнение:

x^2 - 12x + 36 - x = 0 x^2 - 13x + 36 = 0

Далее решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-13)^2 - 4136 = 169 - 144 = 25

x1,2 = (13 ± √25) / 2 = (13 ± 5) / 2

x1 = (13 + 5) / 2 = 9 x2 = (13 - 5) / 2 = 4

Таким образом, уравнение x - √x - 6 = 0 имеет два корня: x1 = 9 и x2 = 4.