Решите уравнение (x+3)^4-(x+3)^2-12=0

Решим уравнение ((x+3)^4 - (x+3)^2 - 12 = 0) методом замены переменной.

Для удобства введем новую переменную: [ y = (x+3)^2. ]

Тогда наше уравнение преобразуется в: [ y^2 - y - 12 = 0. ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Коэффициенты уравнения:

• (a = 1),
• (b = -1),
• (c = -12).

Найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-12) = 1 + 48 = 49. ]

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два действительных корня. Найдем их с помощью формулы для корней квадратного уравнения: [ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим наши значения: [ y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}. ]

Таким образом, получаем два корня: [ y_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4, ] [ y_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3. ]

Теперь вернемся к переменной (x). Напомним, что (y = (x+3)^2).

1. Рассмотрим случай (y = 4): [ (x+3)^2 = 4. ]

   Решим это уравнение: [ x+3 = \pm 2. ]

   Получаем два решения: [ x + 3 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -1, ] [ x + 3 = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -5. ]

2. Рассмотрим случай (y = -3): [ (x+3)^2 = -3. ]

   Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, нет действительных решений для этого случая.

Таким образом, уравнение ((x+3)^4 - (x+3)^2 - 12 = 0) имеет два действительных решения: (x = -1) и (x = -5).

Для решения данного уравнения можно воспользоваться методом замены переменной. Обозначим y = (x+3)^2. Тогда уравнение примет вид y^2 - y - 12 = 0.

Далее решим это квадратное уравнение: y = (1 +- sqrt(1+48))/2 = (1 +- 7)/2.

Таким образом, получаем два возможных значения y: y1 = 6 и y2 = -2.

Теперь подставим обратно x+3 вместо y:

1) (x+3)^2 = 6

x+3 = sqrt(6) или x+3 = -sqrt(6) 
x = sqrt(6) - 3 или x = -sqrt(6) - 3 

2) (x+3)^2 = -2

x+3 = sqrt(-2) или x+3 = -sqrt(-2) 
x = sqrt(-2) - 3 или x = -sqrt(-2) - 3 

Итак, уравнение (x+3)^4 - (x+3)^2 - 12 = 0 имеет четыре корня: x1 = sqrt(6) - 3, x2 = -sqrt(6) - 3, x3 = sqrt(-2) - 3, x4 = -sqrt(-2) - 3.