Решите уравнение3^2x+1-8*3^x=3

Рассмотрим уравнение (3^{2x+1} - 8 \cdot 3^x = 3).

Для удобства введем замену: [ y = 3^x. ]

Тогда уравнение можно переписать в терминах ( y ): [ 3^{2x+1} - 8 \cdot y = 3. ]

Заметим, что ( 3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot (3^x)^2 = 3 \cdot y^2 ).

Таким образом, уравнение принимает вид: [ 3 \cdot y^2 - 8 \cdot y = 3. ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения: [ 3 \cdot y^2 - 8 \cdot y - 3 = 0. ]

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно ( y ): [ 3y^2 - 8y - 3 = 0. ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac, ] где ( a = 3 ), ( b = -8 ), ( c = -3 ).

Вычислим дискриминант: [ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100. ]

Теперь найдем корни уравнения: [ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим значения ( a ), ( b ), и ( D ): [ y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}. ]

Получаем два корня: [ y_1 = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3, ] [ y_2 = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}. ]

Так как ( y = 3^x ) и ( 3^x ) всегда положительно, корень ( y_2 = -\frac{1}{3} ) не подходит.

Остается только один допустимый корень: [ y = 3. ]

Вернемся к исходной переменной ( x ): [ 3^x = 3. ]

Отсюда следует: [ x = 1. ]

Таким образом, решение уравнения: [ x = 1. ]

Для решения данного уравнения 3^(2x+1) - 8*3^x = 3 сначала преобразуем его к более удобному виду. Заметим, что 8 = 2^3, а 3 = 3^1. Тогда уравнение можно переписать в виде:

3^(2x+1) - 2^33^x = 3 3^(2x+1) - (23)^x = 3 3^(2x+1) - 6^x = 3

Теперь проведем замену переменной: y = 3^x. Тогда уравнение примет вид:

3^2y*3 - 6^y = 3 3^(2y+1) - 6^y = 3

Теперь можно решить это уравнение как квадратное относительно переменной y. Решив его, найдем значение y и затем подставим обратно y = 3^x, чтобы найти значения переменной x.