Решите уравнение(y+4)/(y+2)=(2y-1)/(y)

Чтобы решить уравнение (\frac{y+4}{y+2} = \frac{2y-1}{y}), начнем с кросс-множения, чтобы избавиться от дробей. Это даст нам:

[ (y+4) \cdot y = (y+2) \cdot (2y-1) ]

Теперь раскроем скобки:

[ y^2 + 4y = (y+2)(2y-1) ]

Раскроем правую часть уравнения:

[ (y+2)(2y-1) = y \cdot 2y + y \cdot (-1) + 2 \cdot 2y + 2 \cdot (-1) ]

[ = 2y^2 - y + 4y - 2 ]

[ = 2y^2 + 3y - 2 ]

Теперь у нас есть уравнение:

[ y^2 + 4y = 2y^2 + 3y - 2 ]

Переносим все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить стандартную форму квадратного уравнения:

[ y^2 + 4y - 2y^2 - 3y + 2 = 0 ]

Соберем подобные члены:

[ -y^2 + y + 2 = 0 ]

Умножим всё уравнение на -1, чтобы упростить его:

[ y^2 - y - 2 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Здесь (a = 1), (b = -1) и (c = -2). Подставим эти значения в формулу:

[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} ]

[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} ]

[ y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} ]

[ y = \frac{1 \pm 3}{2} ]

Таким образом, у нас есть два решения:

[ y = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 ]

[ y = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 ]

Теперь проверим эти решения, чтобы убедиться, что они не приводят к делению на ноль в исходном уравнении.

Подставим (y = 2):

[ \frac{2+4}{2+2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} ]

[ \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2} ]

Равенство верно.

Теперь подставим (y = -1):

[ \frac{-1+4}{-1+2} = \frac{3}{1} = 3 ]

[ \frac{2 \cdot (-1) - 1}{-1} = \frac{-2 - 1}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3 ]

Равенство тоже верно.

Таким образом, оба решения ( y = 2 ) и ( y = -1 ) удовлетворяют исходному уравнению. Ответ:

[ y = 2 \quad \text{или} \quad y = -1 ]

Для начала умножим обе части уравнения на y(y+2), чтобы избавиться от знаменателей:

y(y+2) (y+4)/(y+2) = y(y+2) (2y-1)/y

После упрощения получим:

y(y+4) = (2y-1)(y+2)

Раскроем скобки:

y^2 + 4y = 2y^2 + 4y - y - 2

После сокращения членов и дальнейших преобразований:

0 = y^2 - 2y - 2

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

D = (-2)^2 - 41(-2) = 4 + 8 = 12

y1,2 = (2 ± √12) / 2 = 1 ± √3

Таким образом, корни уравнения равны y1 = 1 + √3 и y2 = 1 - √3.

Решение: y = -2.