Решите уровнение 4^x-14*2^x-32=0
Решите уровнение 4^x-14*2^x-32=0
Для решения данного уравнения нужно использовать подстановку. После замены переменной 2^x = t, уравнение примет вид t^2 - 14t - 32 = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем значения переменной t. Далее, найдем значения переменной x, используя обратную подстановку.
Для решения уравнения 4^x - 14*2^x - 32 = 0 можно воспользоваться заменой переменной. Обозначим 2^x = t. Тогда уравнение примет вид: t^2 - 14t - 32 = 0.
Далее решим квадратное уравнение:
D = (-14)^2 - 41(-32) = 196 + 128 = 324 t1,2 = (14 ± √324) / 2 = (14 ± 18) / 2
t1 = (14 + 18) / 2 = 32 / 2 = 16 t2 = (14 - 18) / 2 = -4 / 2 = -2
Используя обратную замену переменной, получаем:
2^x = 16 => x = log2(16) => x = 4 2^x = -2 => нет решения, так как 2 в любой степени не может быть отрицательным числом.
Таким образом, уравнение 4^x - 14*2^x - 32 = 0 имеет одно решение x = 4.
Чтобы решить уравнение (4^x - 14 \cdot 2^x - 32 = 0), начнем с преобразования выражения. Заметим, что (4^x) можно представить как ((2^2)^x = (2^x)^2). Это позволит нам упростить уравнение:
[ (2^x)^2 - 14 \cdot 2^x - 32 = 0 ]
Далее введем замену: (y = 2^x). Тогда уравнение примет вид:
[ y^2 - 14y - 32 = 0 ]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой квадратного уравнения:
[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где (a = 1), (b = -14), (c = -32). Подставим эти значения:
[ y = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32)}}{2 \cdot 1} ]
[ y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 128}}{2} ]
[ y = \frac{14 \pm \sqrt{324}}{2} ]
[ y = \frac{14 \pm 18}{2} ]
Теперь найдем два решения для (y):
[ y_1 = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16 ]
[ y_2 = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2 ]
Теперь вернемся к исходной переменной (x):
[ 2^x = 16 ]
Так как (16 = 2^4), то (2^x = 2^4), следовательно, (x = 4).
[ 2^x = -2 ]
Это уравнение не имеет решений, поскольку степень двойки не может быть отрицательной.
Таким образом, единственным решением исходного уравнения является:
[ x = 4 ]
