Решите в целых числах уравнение: x^2 - 4y^2 = 5 Дам 20 баллов +10 за верный ответ

Для решения данного уравнения в целых числах мы можем воспользоваться методом разности квадратов.

Имеем уравнение x^2 - 4y^2 = 5, которое можно записать в виде $x+2y$$x-2y$ = 5.

Теперь нам нужно найти все возможные целочисленные значения x и y, удовлетворяющие данному уравнению.

Заметим, что 5 можно представить как произведение двух чисел либо 15, либо $-1$$-5$.

Так как x и y целые числа, то x + 2y и x - 2y также будут целыми числами. С учетом этого, мы имеем следующие варианты:

1. x + 2y = 5 и x - 2y = 1 Решив данную систему уравнений, получим x = 3, y = 1.

2. x + 2y = 1 и x - 2y = 5 Решив данную систему уравнений, получим x = 3, y = -1.

3. x + 2y = -5 и x - 2y = -1 Решив данную систему уравнений, получим x = -3, y = -1.

4. x + 2y = -1 и x - 2y = -5 Решив данную систему уравнений, получим x = -3, y = 1.

Таким образом, все целочисленные решения уравнения x^2 - 4y^2 = 5 это: $3,1$, $3,-1$, $-3,-1$, $-3,1$.

Ответ: x = 3, y = 1 или x = 3, y = -1 или x = -3, y = -1 или x = -3, y = 1.

Чтобы решить уравнение $x^2-4y^2=5$ в целых числах, можно воспользоваться методом разложения на множители или перебором целых решений.

Уравнение $x^2-4y^2=5$ является уравнением типа разности квадратов, которое можно записать как:

$(x-2y)(x+2y)=5$

Так как 5 является простым числом, произведение $(x-2y$$x+2y$) может принимать следующие пары значений:

1. $x-2y=1$ и $x+2y=5$
2. $x-2y=5$ и $x+2y=1$
3. $x-2y=-1$ и $x+2y=-5$
4. $x-2y=-5$ и $x+2y=-1$

Рассмотрим каждую из этих пар:

1. $x-2y=1$ и $x+2y=5$

   Сложим уравнения: $(x-2y)+(x+2y)=1+5⟹2x=6⟹x=3$

   Подставим $x=3$ в одно из уравнений: $3-2y=1⟹2y=2⟹y=1$

   Решение: $x=3$, $y=1$.

2. $x-2y=5$ и $x+2y=1$

   Сложим уравнения: $(x-2y)+(x+2y)=5+1⟹2x=6⟹x=3$

   Подставим $x=3$ в одно из уравнений: $3-2y=5⟹2y=-2⟹y=-1$

   Решение: $x=3$, $y=-1$.

3. $x-2y=-1$ и $x+2y=-5$

   Сложим уравнения: $(x-2y)+(x+2y)=-1+(-5)⟹2x=-6⟹x=-3$

   Подставим $x=-3$ в одно из уравнений: $-3-2y=-1⟹2y=-2⟹y=-1$

   Решение: $x=-3$, $y=-1$.

4. $x-2y=-5$ и $x+2y=-1$

   Сложим уравнения: $(x-2y)+(x+2y)=-5+(-1)⟹2x=-6⟹x=-3$

   Подставим $x=-3$ в одно из уравнений: $-3-2y=-5⟹2y=2⟹y=1$

   Решение: $x=-3$, $y=1$.

Итак, все целочисленные решения уравнения $x^2-4y^2=5$ следующие:

1. $x=3$, $y=1$
2. $x=3$, $y=-1$
3. $x=-3$, $y=-1$
4. $x=-3$, $y=1$