Решительно уравнение: log1/3(x)+2=3log(x)1/3

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более удобному виду. Заметим, что log1/3(x) = log(x) / log(1/3) и log(x)1/3 = log(x) / log(1/3). Тогда уравнение примет вид:

log(x) / log(1/3) + 2 = 3 * log(x) / log(1/3)

Умножим обе части уравнения на log(1/3), чтобы избавиться от знаменателей:

log(x) + 2 log(1/3) = 3 log(x)

Раскроем логарифмы с помощью свойства логарифма log(a) + log(b) = log(ab):

log(x) + log((1/3)^2) = log(x^3)

Упростим выражение в скобках:

log(x) + log(1/9) = log(x^3)

Сложим логарифмы с помощью свойства логарифма log(a) + log(b) = log(ab):

log(x * 1/9) = log(x^3)

Упростим левую часть уравнения:

log(x / 9) = log(x^3)

Теперь, так как логарифмы равны, то и их аргументы должны быть равны:

x / 9 = x^3

Решим полученное уравнение:

x = 9 * x^3

9 * x^3 - x = 0

x(9x^2 - 1) = 0

Таким образом, получаем два решения уравнения: x = 0 и x = ±1/3.

Преобразуем уравнение: log1/3(x) + 2 = 3log(x)1/3 log1/3(x) + 2 = log(x) - log(3) log1/3(x) = log(x) - log(3) - 2 log1/3(x) = log(x/3) - 2 1/3(x) = x/3 x = 3

Ответ: x = 3

Рассмотрим уравнение: [ \log{\frac{1}{3}}(x) + 2 = 3 \log{x}\left(\frac{1}{3}\right) ]

Для начала упростим обе части уравнения.

1. Используем свойства логарифмов для упрощения правой части: [ \log{a}(b) = \frac{\log{c}(b)}{\log{c}(a)} ] [ \log{x}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\log\left(\frac{1}{3}\right)}{\log(x)} ] Заменим (\log\left(\frac{1}{3}\right)): [ \log\left(\frac{1}{3}\right) = \log(1) - \log(3) = 0 - \log(3) = -\log(3) ] Тогда: [ \log_{x}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{-\log(3)}{\log(x)} ]

2. Перепишем уравнение: [ \log{\frac{1}{3}}(x) + 2 = 3 \cdot \frac{-\log(3)}{\log(x)} ] [ \log{\frac{1}{3}}(x) + 2 = \frac{-3\log(3)}{\log(x)} ]

3. Используем свойство логарифмов для левой части: [ \log{\frac{1}{3}}(x) = \frac{\log(x)}{\log\left(\frac{1}{3}\right)} ] [ \log\left(\frac{1}{3}\right) = -\log(3) ] Тогда: [ \log{\frac{1}{3}}(x) = \frac{\log(x)}{-\log(3)} ]

4. Перепишем уравнение: [ \frac{\log(x)}{-\log(3)} + 2 = \frac{-3\log(3)}{\log(x)} ] Умножим обе части уравнения на (-\log(3)\log(x)) для упрощения: [ \log(x) \cdot \log(x) + 2(-\log(3))\log(x) = -3\log(3) ] [ (\log(x))^2 - 2\log(3)\log(x) = -3\log(3) ] Перенесем все в одну часть: [ (\log(x))^2 - 2\log(3)\log(x) + 3\log(3) = 0 ]

5. Получили квадратное уравнение относительно (\log(x)): [ (\log(x))^2 - 2\log(3)\log(x) + 3\log(3) = 0 ] Решим это уравнение с помощью дискриминанта: [ a = 1, \, b = -2\log(3), \, c = 3\log(3) ] [ D = b^2 - 4ac = (-2\log(3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3\log(3) ] [ D = 4(\log(3))^2 - 12\log(3) ] [ D = 4(\log(3))^2 - 12\log(3) ]

6. Решим: [ D = 4(\log(3))^2 - 12\log(3) ] [ (\log(3))^2 - 3\log(3) = 0 ] [ \log(3)(\log(3) - 3) = 0 ]

7. Найдем корни: [ \log(3) = 0 ] - нет решений, так как 3 > 1 [ \log(3) - 3 = 0 ] [ \log(x) = 3\log(3) ] [ \log(x) = \log(3^3) ] [ \log(x) = \log(27) ]

8. Значит: [ x = 27 ]

Итак, решением уравнения является ( x = 27 ).