С дробями разрешается делать 2 операции : 1) числитель увеличивать на 8; 2) знаменатель увеличивать на 7. Выполнив n указанных операций в произвольном порядке, из дроби 7/8 получили дробь, ей равную. При каком наименьшем значении n это возможно?
С дробями разрешается делать 2 операции : 1) числитель увеличивать на 8; 2) знаменатель увеличивать на 7. Выполнив n указанных операций в произвольном порядке, из дроби 7/8 получили дробь, ей равную. При каком наименьшем значении n это возможно?
Для того чтобы найти наименьшее значение n, при котором можно получить дробь, равную 7/8, мы должны рассмотреть все возможные комбинации операций увеличения числителя на 8 и знаменателя на 7.
Исходная дробь: 7/8
Возможные операции: 1) Увеличить числитель на 8: 7+8=15 2) Увеличить знаменатель на 7: 8+7=15
Получаем дробь: 15/15 = 1
Таким образом, при наименьшем значении n=1 мы можем получить дробь, равную 7/8.
Рассмотрим дробь (\frac{7}{8}) и проанализируем, как операции увеличения числителя на 8 или увеличения знаменателя на 7 могут привести к дроби, равной исходной.
Операции:
Наша цель — найти наименьшее значение (n) (общее количество операций), при котором (\frac{7 + 8k}{8 + 7m} = \frac{7}{8}). Для этого установим равенство дробей и решим его:
[ \frac{7 + 8k}{8 + 7m} = \frac{7}{8} ]
Приравняем числители и знаменатели:
[ 8(7 + 8k) = 7(8 + 7m) ]
Раскроем скобки:
[ 56 + 64k = 56 + 49m ]
Упростим уравнение:
[ 64k = 49m ]
Итак, у нас получилось уравнение с целыми числами. Найдём наименьшие целые (k) и (m), удовлетворяющие этому уравнению. Заметим, что (k) и (m) должны быть пропорциональны коэффициентам 49 и 64. Ищем наименьшие (k) и (m):
[ k = 49 \quad \text{и} \quad m = 64 ]
Теперь посчитаем общее количество операций (n):
[ n = k + m = 49 + 64 = 113 ]
Таким образом, наименьшее значение (n), при котором после выполнения указанных операций дробь (\frac{7}{8}) останется равной себе, равно (113).
