(Sin 7pi/8 - cos 7pi/8)^2

Для расчета данного выражения, сначала вычислим sin(7π/8) и cos(7π/8).

sin(7π/8) = sin(π - π/8) = sin(π)cos(π/8) - cos(π)sin(π/8) = 0 cos(π/8) - (-1) sin(π/8) = sin(π/8)

cos(7π/8) = cos(π - π/8) = cos(π)cos(π/8) + sin(π)sin(π/8) = -1 cos(π/8) + 0 sin(π/8) = -cos(π/8)

Теперь подставим найденные значения sin(7π/8) и cos(7π/8) в исходное выражение и выполниим вычисления:

(sin(7π/8) - cos(7π/8))^2 = (sin(π/8) + cos(π/8))^2 = sin^2(π/8) + 2sin(π/8)cos(π/8) + cos^2(π/8) = sin^2(π/8) + 2sin(π/8)cos(π/8) + cos^2(π/8)

Таким образом, расширенный ответ на вопрос (sin(7π/8) - cos(7π/8))^2 равен sin^2(π/8) + 2sin(π/8)cos(π/8) + cos^2(π/8).

Чтобы найти значение выражения ((\sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{7\pi}{8})^2), нам сначала нужно определить значения (\sin \frac{7\pi}{8}) и (\cos \frac{7\pi}{8}).

Угол (\frac{7\pi}{8}) находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

1. Определим (\sin \frac{7\pi}{8}):

[ \frac{7\pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8} ]

Используя формулу для синуса разности:

[ \sin(\pi - x) = \sin x ]

Получаем:

[ \sin \frac{7\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8} ]

1. Определим (\cos \frac{7\pi}{8}):

Используя формулу для косинуса разности:

[ \cos(\pi - x) = -\cos x ]

Получаем:

[ \cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8} ]

Теперь у нас есть:

[ \sin \frac{7\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8} ]

[ \cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8} ]

1. Подставим значения в выражение:

[ (\sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{7\pi}{8})^2 = (\sin \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8})^2 ]

1. Раскроем квадрат суммы:

[ (\sin \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8})^2 = \sin^2 \frac{\pi}{8} + 2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} ]

1. Используем основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ]

Таким образом:

[ \sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1 ]

1. Используем формулу двойного угла для произведения синуса и косинуса:

[ 2\sin x \cos x = \sin 2x ]

Поэтому:

[ 2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{4} ]

(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2})

1. Вставляем полученные значения в выражение:

[ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, значение выражения ((\sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{7\pi}{8})^2) равно:

[ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} ]