Sin в 4х степени + cos в 4х КАК РАЗЛОЖИТЬ

Для того чтобы разложить выражение ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$, можно воспользоваться алгебраическими преобразованиями и тригонометрическими тождествами.

1. Использование тождества суммы квадратов:

   Мы знаем, что: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$

   Возведем это выражение в квадрат: $({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2=1^2.$

   Раскрываем скобки: ${\sin }^{4}x+2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x=1.$

   В этом выражении нас интересует ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$. Для этого выделим его: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x.$

2. Использование двойного угла:

   Используем тождество для ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$: ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x={(\frac{1}{2}\sin 2x)}^2=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x.$

   Подставим это в выражение: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2\cdot \frac{1}{4}{\sin }^{2}2x.$

   Упрощаем: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x.$

Таким образом, разложение выражения ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$ можно записать в следующем виде: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x.$

Это и есть разложение исходного выражения с использованием тригонометрических тождеств и алгебраических преобразований.

Используй формулу двойного угла для разложения sin^4$x$ + cos^4$x$.

Для разложения выражения sin^4$x$ + cos^4$x$ воспользуемся формулой для разложения суммы квадратов синуса и косинуса:

sin^4$x$ + cos^4$x$ = $si{n}^2(x$ + cos^2$x$)^2 - 2sin^2$x$cos^2$x$

Так как sin^2$x$ + cos^2$x$ = 1, то выражение упрощается до:

$si{n}^2(x$ + cos^2$x$)^2 - 2sin^2$x$cos^2$x$ = 1 - 2sin^2$x$cos^2$x$

Теперь можем воспользоваться формулой двойного угла для синуса:

sin$2x$ = 2sin$x$cos$x$

Из нее следует:

sin^2$x$cos^2$x$ = $sin(x$cos$x$)^2 = $sin(2x$ / 2)^2 = $sin(2x$)^2 / 4

Таким образом, исходное выражение sin^4$x$ + cos^4$x$ раскладывается в:

1 - 2$sin(2x$)^2 / 4 = 1 - $sin(2x$)^2 / 2

Получили окончательный ответ на задачу по разложению выражения sin^4$x$ + cos^4$x$.