Sin в 4х степени + cos в 4х КАК РАЗЛОЖИТЬ

Для того чтобы разложить выражение (\sin^4 x + \cos^4 x), можно воспользоваться алгебраическими преобразованиями и тригонометрическими тождествами.

1. Использование тождества суммы квадратов:

   Мы знаем, что: [ \sin^2 x + \cos^2 x = 1. ]

   Возведем это выражение в квадрат: [ (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2. ]

   Раскрываем скобки: [ \sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1. ]

   В этом выражении нас интересует (\sin^4 x + \cos^4 x). Для этого выделим его: [ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x. ]

2. Использование двойного угла:

   Используем тождество для (\sin^2 x \cos^2 x): [ \sin^2 x \cos^2 x = \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x. ]

   Подставим это в выражение: [ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x. ]

   Упрощаем: [ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x. ]

Таким образом, разложение выражения (\sin^4 x + \cos^4 x) можно записать в следующем виде: [ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x. ]

Это и есть разложение исходного выражения с использованием тригонометрических тождеств и алгебраических преобразований.

Используй формулу двойного угла для разложения sin^4(x) + cos^4(x).

Для разложения выражения sin^4(x) + cos^4(x) воспользуемся формулой для разложения суммы квадратов синуса и косинуса:

sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x)

Так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1, то выражение упрощается до:

(sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x)

Теперь можем воспользоваться формулой двойного угла для синуса:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Из нее следует:

sin^2(x)cos^2(x) = (sin(x)cos(x))^2 = (sin(2x) / 2)^2 = (sin(2x))^2 / 4

Таким образом, исходное выражение sin^4(x) + cos^4(x) раскладывается в:

1 - 2(sin(2x))^2 / 4 = 1 - (sin(2x))^2 / 2

Получили окончательный ответ на задачу по разложению выражения sin^4(x) + cos^4(x).