Sin^2x-√3sinxcosx=0 помогите решить уравнение

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Давайте рассмотрим уравнение sin^2x - √3sinx*cosx = 0 более подробно.

Мы видим, что данное уравнение содержит произведение sinx и cosx, что намекает на использование тригонометрического тождества sin2x = 2sinxcosx. Мы можем заменить sin^2x в уравнении на 2sinxcosx, используя данное тождество:

2sinxcosx - √3sinxcosx = 0

Теперь вынесем общий множитель sinxcosx за скобки:

(2 - √3)sinxcosx = 0

Теперь у нас есть произведение sinx и cosx, равное нулю. Это может произойти только в двух случаях: когда sinx = 0 или cosx = 0.

1. Первый случай: sinx = 0. Это значит, что x = kπ, где k - целое число.

2. Второй случай: cosx = 0. Это значит, что x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

Таким образом, уравнение sin^2x - √3sinx*cosx = 0 имеет бесконечное множество решений в виде x = kπ или x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

Давайте решим уравнение ( \sin^2x - \sqrt{3}\sin x \cos x = 0 ).

Для удобства обозначим (\sin x = u) и (\cos x = v). Тогда уравнение примет вид:

[ u^2 - \sqrt{3}uv = 0. ]

Это уравнение можно разложить на множители:

[ u(u - \sqrt{3}v) = 0. ]

Теперь разберём два случая:

1. ( u = 0 ):

   • Это означает, что (\sin x = 0).
   • Решения этого уравнения: ( x = \pi n ), где ( n ) — целое число.

2. ( u - \sqrt{3}v = 0 ):

   • Это означает, что (\sin x = \sqrt{3}\cos x).
   • Поделим обе стороны на (\cos x) (учитывая, что (\cos x \neq 0)): [ \tan x = \sqrt{3}. ]
   • Решение этого уравнения: ( x = \frac{\pi}{3} + \pi k ), где ( k ) — целое число.

Итак, общее решение уравнения будет объединением решений из обоих случаев:

[ x = \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k, ]

где ( n ) и ( k ) — произвольные целые числа.