Sin2x+корень из 2 sinx= 2cosx + корень из 2

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его: sin2x + √2sinx = 2cosx + √2 2sinxcosx + √2sinx = 2cosx + √2 sinx(2cosx + √2) = 2cosx + √2 sinx = (2cosx + √2)/(2cosx + √2) sinx = 1

Таким образом, уравнение сводится к sinx = 1. Решение этого уравнения - x = π/2 + 2πn, где n - целое число. Итак, решением данного уравнения будет x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

Для решения данного уравнения преобразуем его, используя тригонометрические тождества и свойства.

1. Начнем с преобразования левой части уравнения: [\sin 2x + \sqrt{2} \sin x]

   Используем формулу двойного угла для синуса: [\sin 2x = 2 \sin x \cos x]

   Тогда уравнение примет вид: [2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin x = 2 \cos x + \sqrt{2}]

2. Преобразуем выражение, вынеся общий множитель (\sin x) в левой части: [\sin x (2 \cos x + \sqrt{2}) = 2 \cos x + \sqrt{2}]

3. Теперь видно, что можно разделить обе части уравнения на (2 \cos x + \sqrt{2}), при условии, что это выражение не равно нулю. Проверим, при каких условиях данное выражение обращается в ноль: [2 \cos x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}] Это уравнение имеет решения при (x = \frac{3\pi}{4} + \pi k) или (x = \frac{7\pi}{4} + \pi k), где (k) — целое число.

4. Теперь вернемся к нашему уравнению: [\sin x = 1]

   Это уравнение имеет решения при (x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k), где (k) — целое число.

5. Однако нам также нужно убедиться, что данные решения не приводят к занулению знаменателя в нашем исходном делении: Подставим (x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k) в выражение для знаменателя: [\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = 0] Таким образом, при этих значениях (x) знаменатель не обращается в ноль, и решения допустимы.

В итоге, решениями исходного уравнения являются: [x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}]

Это ответ на вашу задачу с учетом тригонометрических тождеств и свойств функций.