(Sin3a+sina/cos3a+cosa)=sin4a/1+cos4a доказать тотожество

Чтобы доказать данное тригонометрическое тождество:

[ \frac{\sin 3a + \sin a}{\cos 3a + \cos a} = \frac{\sin 4a}{1 + \cos 4a} ]

мы будем использовать тригонометрические преобразования и формулы сложения. Начнем с левой части:

Левая часть

[ \frac{\sin 3a + \sin a}{\cos 3a + \cos a} ]

Используем формулы суммы синусов и косинусов:

[ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right) ]

[ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right) ]

Подставим (x = 3a) и (y = a):

[ \sin 3a + \sin a = 2 \sin\left(\frac{4a}{2}\right) \cos\left(\frac{2a}{2}\right) = 2 \sin 2a \cos a ]

[ \cos 3a + \cos a = 2 \cos\left(\frac{4a}{2}\right) \cos\left(\frac{2a}{2}\right) = 2 \cos 2a \cos a ]

Теперь левая часть превращается в:

[ \frac{2 \sin 2a \cos a}{2 \cos 2a \cos a} = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} ]

Мы знаем, что (\frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \tan 2a).

Правая часть

Теперь рассмотрим правую часть:

[ \frac{\sin 4a}{1 + \cos 4a} ]

Используя формулы удвоения для синуса и косинуса, мы знаем, что:

[ \sin 4a = 2 \sin 2a \cos 2a ]

[ 1 + \cos 4a = 2 \cos^2 2a ]

Таким образом, правая часть становится:

[ \frac{2 \sin 2a \cos 2a}{2 \cos^2 2a} = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \tan 2a ]

Заключение

Мы видим, что обе части равны (\tan 2a), следовательно, данное тождество доказано.

Для доказательства данного тождества необходимо использовать формулы сложения и умножения тригонометрических функций, а также формулы приведения.

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами тригонометрии.

Изначальное уравнение:

(sin3a + sina) / (cos3a + cosa) = sin4a / (1 + cos4a)

Преобразуем левую часть уравнения:

(sin3a + sina) / (cos3a + cosa) = (sin(2a)cos(a) + sin(a)) / (cos(2a)cos(a) + cos(a)) = sin(a)(2cos(a) + 1) / cos(a)(2cos(a) + 1) = sin(a) / cos(a) = tan(a)

Преобразуем правую часть уравнения:

sin4a / (1 + cos4a) = sin(2a)cos(2a) / (1 + cos(2a)cos(2a)) = 2sin(a)cos(a) (cos^2(a) - sin^2(a)) / (1 + (cos^2(a) - sin^2(a))^2) = 2sin(a)cos(a) (cos^2(a) - sin^2(a)) / (1 + cos^4(a) - 2cos^2(a)sin^2(a) + sin^4(a)) = 2sin(a)cos(a) * (cos^2(a) - sin^2(a)) / (2 - 2cos^2(a)sin^2(a)) = sin(2a) / (1 - cos(2a)) = tan(2a)

Таким образом, левая и правая части уравнения равны между собой, что доказывает данное тождество.