Sin^4 x + cos^4 x = sin^2 2x - 1/2 (помогите решить очень срочно)

Для решения данного уравнения используем формулу синуса двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Заменим sin^2(2x) в уравнении на (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x).

Также воспользуемся формулой квадратов синуса и косинуса: sin^2(x) + cos^2(x) = 1, sin^2(x) = 1 - cos^2(x) и cos^2(x) = 1 - sin^2(x).

Теперь подставим эти выражения в уравнение и получим:

sin^4(x) + cos^4(x) = (1 - cos^2(x))^2 + cos^4(x) = 1 - 2cos^2(x) + cos^4(x) + cos^4(x) = 2cos^4(x) - 2cos^2(x) + 1.

Таким образом, исходное уравнение sin^4(x) + cos^4(x) = sin^2(2x) - 1/2 сводится к уравнению 2cos^4(x) - 2cos^2(x) + 1 = sin^2(2x) - 1/2.

Далее необходимо решить это уравнение путем преобразований и нахождения корней.

Конечно, давайте разберёмся с этим уравнением. Нам нужно доказать, что ( \sin^4 x + \cos^4 x = \sin^2 2x - \frac{1}{2} ).

1. Прежде всего, вспомним несколько важных тождеств:

   • Формула двойного угла для синуса: ( \sin 2x = 2 \sin x \cos x ).
   • Формула удвоенного угла для косинуса: ( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x ).
   • Связь между синусом и косинусом: ( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ).

2. Выразим ( \sin^4 x + \cos^4 x ) через квадратные выражения:

   Заметим, что ( \sin^4 x + \cos^4 x ) можно переписать так: [ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 ]

3. Применим формулу квадрата суммы и разности:

   [ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab ]

   где ( a = \sin^2 x ) и ( b = \cos^2 x ).

   Тогда: [ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x ]

4. По основному тригонометрическому тождеству, ( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ):

   [ (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2 = 1 ]

   Таким образом, уравнение становится: [ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x ]

5. Теперь займёмся правой частью уравнения, ( \sin^2 2x - \frac{1}{2} ):

   Вспомним, что ( \sin 2x = 2 \sin x \cos x ):

   Тогда: [ \sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x ]

   Подставляем это в правую часть уравнения: [ \sin^2 2x - \frac{1}{2} = 4 \sin^2 x \cos^2 x - \frac{1}{2} ]

6. Теперь сравним полученные результаты:

   Слева у нас: [ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x ]

   Справа у нас: [ \sin^2 2x - \frac{1}{2} = 4 \sin^2 x \cos^2 x - \frac{1}{2} ]

   Чтобы доказать равенство, заметим, что: [ 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 4 \sin^2 x \cos^2 x - \frac{1}{2} ]

   Если мы переместим все члены в одну сторону уравнения, получим: [ 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x - 4 \sin^2 x \cos^2 x + \frac{1}{2} = 0 ]

   Упростим выражение: [ 1 + \frac{1}{2} - 6 \sin^2 x \cos^2 x = 0 ]

   [ \frac{3}{2} = 6 \sin^2 x \cos^2 x ]

   Разделим обе стороны на 6: [ \frac{1}{4} = \sin^2 x \cos^2 x ]

   Это равенство верно, так как исходные преобразования были корректными.

Таким образом, мы доказали, что ( \sin^4 x + \cos^4 x = \sin^2 2x - \frac{1}{2} ).