Sin4x + sin^2 2x=0 решите пожалуйста, буду очень благодарна
Sin4x + sin^2 2x=0 решите пожалуйста, буду очень благодарна
Для решения уравнения sin4x + sin^2 2x = 0, сначала можно заметить, что sin^2 2x = (sin 2x)^2. Таким образом, уравнение примет вид sin4x + (sin 2x)^2 = 0.
Затем можно воспользоваться формулой синуса двойного угла: sin 2x = 2sin x cos x. Подставив это выражение в уравнение, получим:
sin4x + (2sin x cos x)^2 = 0, sin4x + 4sin^2 x cos^2 x = 0.
Далее можно воспользоваться формулой двойного угла для синуса: sin2α = 2sinαcosα. Применяя эту формулу, получим:
sin4x + 4(2sin x cos x)^2 = 0, sin4x + 4(2sin x cos x)^2 = 0, sin4x + 4sin^2 x cos^2 x = 0.
Таким образом, уравнение сводится к виду sin4x + 4sin^2 x cos^2 x = 0. Затем можно воспользоваться формулой двойного угла для синуса и косинуса, чтобы дальше упростить уравнение и найти его корни.
Конечно, давайте решим уравнение (\sin{4x} + \sin^2{2x} = 0).
Раскроем (\sin{4x}) через (\sin{2x}): [\sin{4x} = 2 \sin{2x} \cos{2x}]
Перепишем исходное уравнение: [2 \sin{2x} \cos{2x} + \sin^2{2x} = 0]
Вынесем (\sin{2x}) за скобку: [\sin{2x} (2 \cos{2x} + \sin{2x}) = 0]
Теперь у нас произведение двух множителей равно нулю, поэтому можно рассмотреть два случая отдельно:
(\sin{2x} = 0) при: [2x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}]
Следовательно, (x) будет: [x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}]
Рассмотрим уравнение: [2 \cos{2x} + \sin{2x} = 0]
Перенесем (\sin{2x}) на другую сторону: [2 \cos{2x} = -\sin{2x}]
Разделим обе части на (\cos{2x}) (при условии, что (\cos{2x} \neq 0)): [2 = -\tan{2x}]
Следовательно: [\tan{2x} = -2]
Теперь решим это уравнение: [2x = \arctan{(-2)} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}]
Разделим обе части на 2: [x = \frac{1}{2} \arctan{(-2)} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}]
Таким образом, мы получили два набора решений:
Эти решения представляют все значения (x), при которых исходное уравнение (\sin{4x} + \sin^2{2x} = 0) выполняется.
