Sin75°+sin15°/sin75°-sin15° Решите подробно, пожалуйста! Никаких кратких записей!

Для решения данного выражения воспользуемся формулой синуса суммы углов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Заметим, что sin(75°) = sin(45° + 30°) и sin(15°) = sin(45° - 30°). Тогда выражение примет вид:

(sin45°cos30° + cos45°sin30°) / (sin45°cos30° - cos45°sin30°)

sin45° = 1/√2, cos30° = √3/2, sin30° = 1/2, cos45° = 1/√2

Подставляем значения:

(1/√2 √3/2 + 1/√2 1/2) / (1/√2 √3/2 - 1/√2 1/2)

(√3/2√2 + 1/2√2) / (√3/2√2 - 1/2√2)

Упрощаем числители и знаменатели:

(√3 + 1) / (√3 - 1)

Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

(√3 + 1)(√3 + 1) / (√3 - 1)(√3 + 1)

(3 + 2√3 + 1) / (3 - 1)

(4 + 2√3) / 2

2 + √3

Таким образом, sin75° + sin15° / sin75° - sin15° = 2 + √3.

Для решения выражения (\frac{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ}) используем формулы приведения и сумму синусов. Начнем с вычисления значений синусов, используя известные тригонометрические тождества.

Сначала найдем (\sin 75^\circ) и (\sin 15^\circ) с помощью формулы для синуса суммы и разности углов:

[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ ]

Значения стандартных углов: [ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} ]

Подставим их в формулу: [ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Теперь найдем (\sin 15^\circ): [ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ ]

Подставим значения: [ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

Теперь подставим найденные значения в наше выражение: [ \frac{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} ]

Сложим и вычтем дроби: [ \text{Числитель: } \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} ]

[ \text{Знаменатель: } \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь можем упростить наше выражение: [ \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} ]

Таким образом, значение выражения равно (\sqrt{3}).

Для решения данного выражения нам нужно воспользоваться тригонометрическими формулами синуса суммы и разности углов.

Начнем с выражения sin(75° + 15°) = sin(90°) = 1 и sin(75° - 15°) = sin(60°) = √3/2.

Теперь заменим sin(75°) и sin(15°) в исходном выражении на более простые выражения:

(sin75° + sin15°) / (sin75° - sin15°) = (sin(75° + 15°) + sin(75° - 15°)) / (sin(75° + 15°) - sin(75° - 15°)) = (1 + √3/2) / (1 - √3/2).

Далее, чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (1 + √3/2):

((1 + √3/2) / (1 - √3/2)) * ((1 + √3/2) / (1 + √3/2)) = (1 + √3/2 + √3/2 + 3/2) / (1 - 3/2) = (2 + 2√3) / (-1/2) = -4 - 4√3.

Итак, итоговый ответ на выражение sin(75° + sin15°) / sin(75° - sin15°) равен -4 - 4√3.