Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из группы в 20 человек?

Для того чтобы выбрать трех дежурных из группы из 20 человек, мы можем воспользоваться комбинаторикой и использовать формулу сочетаний.

Формула сочетаний для выбора k элементов из n элементов без учета порядка выбора выглядит следующим образом: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

В данном случае у нас есть 20 человек (n = 20) и мы должны выбрать 3 дежурных (k = 3). Подставив значения в формулу сочетаний, получим:

C(20, 3) = 20! / (3!(20-3)!) = 20! / (3! 17!) = (20 19 18) / (3 2 * 1) = 1140

Таким образом, существует 1140 способов выбрать трех дежурных из группы из 20 человек.

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторику, а именно формулу сочетаний. Сочетания показывают, сколькими способами можно выбрать подмножество из k элементов, не учитывая порядок, из большего множества, содержащего n элементов. Формула сочетаний выглядит следующим образом:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

где ( n! ) (n факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n, ( k! ) — произведение всех натуральных чисел от 1 до k, и ( (n-k)! ) — произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n-k ).

В данной задаче необходимо выбрать 3 дежурных из 20 человек. То есть, ( n = 20 ), ( k = 3 ). Подставим их в формулу:

[ C(20, 3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} ]

Далее, распишем факториалы для упрощения вычисления:

[ 20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17! ] [ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 ] [ 17! \text{ сокращается в числителе и знаменателе} ]

Таким образом, имеем:

[ C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{6} ]

Выполним деление:

[ \frac{20 \times 19 \times 18}{6} = \frac{6840}{6} = 1140 ]

Итак, выбрать трёх дежурных из группы в 20 человек можно 1140 различными способами.