Сократить дробь x^2 - 1/ x^2 - 2x + 1 и найти его значения при x=-0,5

Конечно, давайте сократим дробь (\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}) и найдем её значение при (x = -0.5).

Сокращение дроби

1. Разложение числителя и знаменателя на множители:

   • Числитель: (x^2 - 1) можно разложить как разность квадратов: [ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) ]
   • Знаменатель: (x^2 - 2x + 1) можно разложить как полный квадрат: [ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 ]

2. Записать дробь с разложенными числителем и знаменателем: [ \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} ]

3. Сокращение дроби:

   • В числителе и знаменателе есть общий множитель (x - 1), который можно сократить: [ \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x + 1}{x - 1} \quad \text{при условии} \quad x \neq 1 ]

Вычисление значения дроби при (x = -0.5)

Теперь, когда мы сократили дробь до (\frac{x + 1}{x - 1}), подставим значение (x = -0.5):

1. Подстановка значения (x = -0.5): [ \frac{x + 1}{x - 1} \quad \text{при} \quad x = -0.5 ] [ \frac{-0.5 + 1}{-0.5 - 1} = \frac{0.5}{-1.5} ]

2. Вычисление значения: [ \frac{0.5}{-1.5} = \frac{1}{3} \times (-1) = -\frac{1}{3} ]

Таким образом, значение сокращенной дроби (\frac{x + 1}{x - 1}) при (x = -0.5) равно (-\frac{1}{3}).

Для сокращения дроби x^2 - 1/ x^2 - 2x + 1 мы сначала факторизуем знаменатель:

x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Теперь мы можем переписать дробь:

(x^2 - 1)/ (x^2 - 2x + 1) = (x^2 - 1)/ (x - 1)^2

Далее, разложим числитель на множители:

x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)

Подставим это обратно в исходную дробь:

(x + 1)(x - 1)/ (x - 1)^2

Теперь мы можем сократить (x - 1) из числителя и знаменателя:

(x + 1)/ (x - 1)

Теперь найдем значение этой дроби при x = -0.5:

(-0.5 + 1)/ (-0.5 - 1) = 0.5/ -1.5 = -1/3

Итак, после сокращения дроби и подстановки значения x = -0.5, получаем ответ -1/3.