Сократите дробь 2x²+11x-21 4x²-9

Чтобы сократить дробь (\frac{2x^2 + 11x - 21}{4x^2 - 9}), нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители, а затем сократить общие множители.

1. Разложение числителя (2x^2 + 11x - 21):

   Для разложения квадратного трёхчлена (2x^2 + 11x - 21) на множители, применим метод разложения на множители через подбор корней или использование теоремы Виета.

   Найдём корни уравнения (2x^2 + 11x - 21 = 0) с помощью дискриминанта (D): [ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 121 + 168 = 289 ] Корни находятся по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] Подставим значения (a = 2), (b = 11), (c = -21): [ x_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{289}}{4} = \frac{-11 \pm 17}{4} ] Получаем корни: [ x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-28}{4} = -7 ]

   Тогда (2x^2 + 11x - 21) можно разложить как: [ 2x^2 + 11x - 21 = 2(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - \frac{3}{2})(x + 7) ] Чтобы избавиться от дроби, умножим на 2: [ 2(x - \frac{3}{2})(x + 7) = (2x - 3)(x + 7) ]

2. Разложение знаменателя (4x^2 - 9):

   Разложим знаменатель (4x^2 - 9) как разность квадратов: [ 4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3) ]

Теперь наша дробь выглядит следующим образом: [ \frac{(2x - 3)(x + 7)}{(2x - 3)(2x + 3)} ]

1. Сокращение дроби:

   В числителе и знаменателе есть общий множитель ((2x - 3)), который можно сократить: [ \frac{(2x - 3)(x + 7)}{(2x - 3)(2x + 3)} = \frac{x + 7}{2x + 3} ]

Таким образом, сокращённая форма дроби (\frac{2x^2 + 11x - 21}{4x^2 - 9}) будет: [ \frac{x + 7}{2x + 3} ]

Дробь 2x²+11x-21 / 4x²-9 не может быть сокращена, так как числители и знаменатели не имеют общих множителей.

Для сокращения дроби, необходимо сначала разложить числитель и знаменатель на множители:

Числитель: 2x² + 11x - 21 = (2x - 3)(x + 7) Знаменатель: 4x² - 9 = (2x - 3)(2x + 3)

Теперь дробь примет вид: ((2x - 3)(x + 7)) / ((2x - 3)(2x + 3))

Замечаем, что (2x - 3) сокращается и получаем окончательный ответ: (x + 7) / (2x + 3)