Сократите дробь: 36n --------------- 3^2n-1 * 4^n-2 Или более понятнее: 36n/3^2n-1 * 4^n-2

Дробь можно сократить до 4/3.

Для сокращения данной дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на простые множители.

36n = 2^2 3^2 n 3^(2n-1) = 3^(2n) / 3 = 3 3^(2n) 4^(n-2) = 2^(2n) / 4^2 = 2 2^(2n)

Теперь можем записать нашу дробь в виде: (2^2 3^2 n) / (3 3^(2n) 2 * 2^(2n))

Далее сокращаем общие множители: 2^2 сокращается с 2 в знаменателе 3^2 сокращается с 3 в знаменателе остается: n / (3^(2n) * 2^(2n))

Таким образом, сокращенная дробь будет: n / (3^(2n) * 2^(2n))

Для упрощения выражения ( \frac{36n}{3^{2n-1} \cdot 4^{n-2}} ) начнем с того, что разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложение числителя: Числитель (36n) можно представить как (36 \cdot n = 6^2 \cdot n).

2. Разложение знаменателя: Знаменатель можно разложить следующим образом, используя свойства степеней:

   • (3^{2n-1}) остается без изменений.
   • (4^{n-2}) можно переписать как ((2^2)^{n-2} = 2^{2n-4}).

   Таким образом, знаменатель будет (3^{2n-1} \cdot 2^{2n-4}).

3. Объединение знаменателя: Знаменатель теперь выглядит как (3^{2n-1} \cdot 2^{2n-4}).

4. Упрощение дроби: Теперь мы можем приступить к упрощению: [ \frac{6^2 \cdot n}{3^{2n-1} \cdot 2^{2n-4}} = \frac{36n}{3^{2n-1} \cdot 2^{2n-4}} ] Используем свойства степеней и разложим (6^2) как (2^2 \cdot 3^2): [ \frac{2^2 \cdot 3^2 \cdot n}{3^{2n-1} \cdot 2^{2n-4}} = \frac{2^2 \cdot 3^2 \cdot n}{3^{2n-1} \cdot 2^{2n-4}} ]
   Сократим степени, вычитая показатели в числителе и знаменателе:

   • Для (3): (2 - (2n-1) = 3 - 2n)
   • Для (2): (2 - (2n-4) = 6 - 2n)

   Таким образом, дробь упрощается до: [ \frac{3^{3-2n} \cdot n}{2^{6-2n}} ]

5. Итоговый результат: Итак, упрощенная форма дроби: [ \frac{n \cdot 3^{3-2n}}{2^{6-2n}} ]

Это окончательное упрощение данной дроби с учетом алгебраических преобразований и свойств степеней.