Сократите дробь 4x^2+7x-2/1-16x^2

Для сокращения дроби ( \frac{4x^2+7x-2}{1-16x^2} ) нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители и выделить общие множители, если они есть.

Числитель: ( 4x^2+7x-2 = (4x-1)(x+2) ) Знаменатель: ( 1-16x^2 = (1-4x)(1+4x) )

Теперь дробь примет вид:

( \frac{(4x-1)(x+2)}{(1-4x)(1+4x)} )

Теперь можно сократить общие множители, если они есть. В данном случае общих множителей нет, поэтому дробь не упрощается дальше.

Для того чтобы сократить дробь (\frac{4x^2 + 7x - 2}{1 - 16x^2}), нам необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и посмотреть, есть ли общие множители, которые можно сократить.

1. Разложение числителя (4x^2 + 7x - 2): Чтобы разложить квадратное уравнение (ax^2 + bx + c) на множители, можно найти корни уравнения через дискриминант или использовать метод группировки. В данном случае произведение (a \cdot c = 4 \cdot (-2) = -8), и нам нужны два числа, которые в сумме дают 7 и в произведении -8. Это числа 8 и -1.

   [ 4x^2 + 8x - x - 2 = (4x^2 + 8x) - (x + 2) = 4x(x + 2) - 1(x + 2) = (4x - 1)(x + 2) ]

2. Разложение знаменателя (1 - 16x^2): Знаменатель является разностью квадратов, что можно записать как:

   [ 1 - 16x^2 = (1 - 4x)(1 + 4x) ]

3. Сокращение дроби: Теперь выражение дроби выглядит следующим образом:

   [ \frac{(4x - 1)(x + 2)}{(1 - 4x)(1 + 4x)} ]

   Заметим, что множитель (4x - 1) в числителе можно представить как (-1(1 - 4x)), что позволяет нам сократить с множителем (1 - 4x) в знаменателе:

   [ \frac{-(4x - 1)(x + 2)}{(4x - 1)(1 + 4x)} = \frac{-(x + 2)}{1 + 4x} ]

   Или, умножив числитель и знаменатель на (-1), получаем:

   [ \frac{x + 2}{1 + 4x} ]

Таким образом, сокращенная форма исходной дроби (\frac{4x^2 + 7x - 2}{1 - 16x^2}) равна (\frac{x + 2}{1 + 4x}).