Сократите дробь x^2-8x+16/x^2-16

Для того чтобы сократить дробь (\frac{x^2-8x+16}{x^2-16}), необходимо сначала разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложение числителя (x^2-8x+16): Это квадратный трёхчлен, который можно попытаться разложить на множители. Для этого найдём корни уравнения (x^2-8x+16=0). По формуле корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где (a = 1), (b = -8), (c = 16). Подставляем значения: [ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2} = \frac{8 \pm 0}{2} ] Получаем два одинаковых корня (x = 4), следовательно, числитель можно записать как ((x-4)^2).

2. Разложение знаменателя (x^2-16): Это разность квадратов, которая разлагается по формуле (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)). Здесь (a = x) и (b = 4), так что получаем: [ x^2 - 16 = (x-4)(x+4) ]

Теперь, имея разложения, дробь принимает вид: [ \frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)} ]

Здесь видно, что общий множитель ((x-4)) в числителе и знаменателе можно сократить. Однако, важно помнить, что сокращение возможно только при условии, что (x \neq 4), так как при (x = 4) знаменатель обращается в ноль, и дробь теряет смысл.

После сокращения получаем: [ \frac{x-4}{x+4} ] с оговоркой, что (x \neq 4). Также нужно учитывать, что (x \neq -4), так как иначе знаменатель дроби также обращается в ноль.

Итак, сокращенная форма дроби: [ \frac{x-4}{x+4} \quad \text{при} \quad x \neq 4 \quad \text{и} \quad x \neq -4 ]

Для сокращения данной дроби нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители:

x^2 - 8x + 16 = (x - 4)(x - 4) = (x - 4)^2 x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)

Теперь подставим полученные разложения в дробь:

(x^2 - 8x + 16) / (x^2 - 16) = ((x - 4)^2) / ((x - 4)(x + 4))

Заметим, что (x - 4) сокращается в числителе и знаменателе:

((x - 4)^2) / ((x - 4)(x + 4)) = (x - 4) / (x + 4)

Таким образом, сокращенная дробь равна (x - 4) / (x + 4).

Дробь можно сократить до (x-4)/(x-4).