Составить каноническое уравнение эллипса,если даны его вершины (0,3) и (0,-3) и расстояние между фокусами,равное...

Каноническое уравнение эллипса: ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ) где a - большая полуось, b - малая полуось эллипса.

Из условия известно, что вершины эллипса находятся на оси y, поэтому a = 3. Также известно, что расстояние между фокусами равно 8, следовательно, c = 4 (где c - расстояние от центра эллипса до фокусов).

Используя формулу c^2 = a^2 - b^2, найдем значение b: ( 4^2 = 3^2 - b^2 ) ( 16 = 9 - b^2 ) ( b^2 = -7 ) - так как мы получили отрицательное значение, это означает, что эллипса не существует.

Ответ: каноническое уравнение эллипса не существует при данных условиях.

Для составления канонического уравнения эллипса нам необходимо найти полуось а и фокусное расстояние c.

По условию задачи, вершины эллипса находятся на оси ординат, следовательно, ось а будет совпадать с осью ординат и равна половине расстояния между вершинами эллипса: a = |3 - (-3)| / 2 = 3

Также дано, что расстояние между фокусами равно 8, а расстояние между фокусом и центром эллипса равно c: c = 8

Зная, что в эллипсе справедливо уравнение c^2 = a^2 - b^2, где b - полуось, подставляем известные значения: 8^2 = 3^2 - b^2 64 = 9 - b^2 b^2 = 9 - 64 b^2 = -55 b = √(-55)

Теперь мы можем составить каноническое уравнение эллипса: x^2 / 9 + y^2 / (-55) = 1

Таким образом, каноническое уравнение эллипса с заданными вершинами и расстоянием между фокусами равным 8 будет: x^2 / 9 - y^2 / 55 = 1

Чтобы составить каноническое уравнение эллипса, нам нужно определить его основные параметры: центр, полуоси и фокусы. Давайте подробно разберем, как это сделать, используя заданные вершины и расстояние между фокусами.

Шаг 1: Определение центра и полуосей

1. Вершины эллипса: даны вершины ((0, 3)) и ((0, -3)). Поскольку эти точки лежат на оси (OY), это указывает на то, что ось симметрии эллипса вертикальна. Расстояние между вершинами равно 6 (из ((3 - (-3)))), следовательно, полуось (b = 3).

2. Центр эллипса: центр эллипса находится на полпути между вершинами. Таким образом, центр находится в точке ((0, 0)).

Шаг 2: Определение расстояния между фокусами и полуоси (a)

1. Расстояние между фокусами: дано расстояние между фокусами, равное 8. В эллипсе фокусы расположены на главной оси, и расстояние между ними равно (2c), где (c) — расстояние от центра до каждого из фокусов. Следовательно, (2c = 8), откуда (c = 4).

2. Связь между полуосями: в эллипсе выполняется соотношение (c^2 = a^2 - b^2). Подставим известные значения: [ 4^2 = a^2 - 3^2 ] [ 16 = a^2 - 9 ] [ a^2 = 25 ] Таким образом, (a = 5).

Шаг 3: Запись канонического уравнения эллипса

Теперь, когда у нас есть все параметры, мы можем записать каноническое уравнение эллипса. Поскольку ось симметрии вертикальна, уравнение эллипса имеет вид:

[ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 ]

Подставляя найденные значения (a = 5) и (b = 3), получаем:

[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 ]

Итак, каноническое уравнение эллипса:

[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1 ]

Эллипс с центром в точке ((0, 0)), полуосью (a = 5) вдоль оси (OY) и полуосью (b = 3) вдоль оси (OX), а также фокусами, расположенными на расстоянии 4 единицы от центра вдоль оси (OY).