Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x=a, если: а) f(x)=x^2,...

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции ( y = f(x) ) в точке с абсциссой ( x = a ), нам нужно знать значение функции в этой точке ( f(a) ) и производную функции ( f'(x) ), которая дает нам угол наклона касательной в этой точке.

Уравнение касательной можно записать в общем виде как:

[ y - f(a) = f'(a)(x - a) ]

где ( f'(a) ) — это производная функции в точке ( x = a ).

Теперь рассмотрим оба случая.

а) ( f(x) = x^2, a = 3 )

1. Найдем значение функции в точке ( x = 3 ): [ f(3) = 3^2 = 9 ]

2. Найдем производную функции: [ f'(x) = 2x ] Подставим ( x = 3 ): [ f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 ]

3. Составим уравнение касательной: Подставим найденные значения в уравнение касательной: [ y - 9 = 6(x - 3) ] Упростим это уравнение: [ y - 9 = 6x - 18 ] [ y = 6x - 9 ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( y = x^2 ) в точке ( x = 3 ) имеет вид: [ y = 6x - 9 ]

б) ( f(x) = 2 - x - x^3, a = 0 )

1. Найдем значение функции в точке ( x = 0 ): [ f(0) = 2 - 0 - 0^3 = 2 ]

2. Найдем производную функции: [ f'(x) = -1 - 3x^2 ] Подставим ( x = 0 ): [ f'(0) = -1 - 3 \cdot 0^2 = -1 ]

3. Составим уравнение касательной: Подставим найденные значения в уравнение касательной: [ y - 2 = -1(x - 0) ] Упростим это уравнение: [ y - 2 = -x ] [ y = -x + 2 ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( y = 2 - x - x^3 ) в точке ( x = 0 ) имеет вид: [ y = -x + 2 ]

Итак, резюмируя, у нас есть:

• Для ( f(x) = x^2 ) в точке ( x = 3 ): ( y = 6x - 9 )
• Для ( f(x) = 2 - x - x^3 ) в точке ( x = 0 ): ( y = -x + 2 )

а) Для функции ( f(x) = x^2 ) находим производную: ( f'(x) = 2x ). В точке ( x = 3 ) производная равна ( f'(3) = 6 ). Значение функции в этой точке: ( f(3) = 9 ). Уравнение касательной:

[ y - 9 = 6(x - 3) \implies y = 6x - 9 ]

б) Для функции ( f(x) = 2 - x - x^3 ) находим производную: ( f'(x) = -1 - 3x^2 ). В точке ( x = 0 ) производная равна ( f'(0) = -1 ). Значение функции в этой точке: ( f(0) = 2 ). Уравнение касательной:

[ y - 2 = -1(x - 0) \implies y = -x + 2 ]

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции ( y = f(x) ) в точке с абсциссой ( x = a ), нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Найти значение функции в точке ( x = a ), т.е. вычислить ( f(a) ). Это даст нам точку касания ( (a, f(a)) ).
2. Найти производную функции ( f'(x) ), которая определяет скорость изменения функции, то есть наклон касательной.
3. Подставить ( x = a ) в производную ( f'(x) ), чтобы найти значение наклона ( k = f'(a) ) касательной в точке ( x = a ).
4. Подставить найденные значения ( k ) и точку ( (a, f(a)) ) в уравнение прямой: ( y = k(x - a) + f(a) ).

Теперь применим этот алгоритм для каждого случая.

а) ( f(x) = x^2, a = 3 ):

1. Найдём значение функции в точке ( x = 3 ): [ f(3) = 3^2 = 9. ] Точка касания: ( (3, 9) ).

2. Найдём производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x. ]

3. Подставим ( x = 3 ) в производную, чтобы найти наклон касательной: [ k = f'(3) = 2 \cdot 3 = 6. ]

4. Уравнение касательной имеет вид: [ y = k(x - a) + f(a). ] Подставим ( k = 6 ), ( a = 3 ), ( f(a) = 9 ): [ y = 6(x - 3) + 9. ]

5. Упростим выражение: [ y = 6x - 18 + 9, ] [ y = 6x - 9. ]

Итак, уравнение касательной: [ y = 6x - 9. ]

б) ( f(x) = 2 - x - x^3, a = 0 ):

1. Найдём значение функции в точке ( x = 0 ): [ f(0) = 2 - 0 - 0^3 = 2. ] Точка касания: ( (0, 2) ).

2. Найдём производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 - x - x^3) = 0 - 1 - 3x^2 = -1 - 3x^2. ]

3. Подставим ( x = 0 ) в производную, чтобы найти наклон касательной: [ k = f'(0) = -1 - 3 \cdot 0^2 = -1. ]

4. Уравнение касательной имеет вид: [ y = k(x - a) + f(a). ] Подставим ( k = -1 ), ( a = 0 ), ( f(a) = 2 ): [ y = -1(x - 0) + 2. ]

5. Упростим выражение: [ y = -x + 2. ]

Итак, уравнение касательной: [ y = -x + 2. ]

Ответ:

а) Уравнение касательной: ( y = 6x - 9 ).

б) Уравнение касательной: ( y = -x + 2 ).