(\[( \Sqrt[12]{144} - \sqrt[3]{2 \sqrt{192} } ) ^{3} \]

Для раскрытия данного выражения нам сначала нужно вычислить значения подкоренных выражений. Начнем с вычисления корней:

1. (\sqrt[12]{144} = 144^{\frac{1}{12}} = 2) (так как (2^{12} = 144))
2. (\sqrt{192} = 8) (так как (8^2 = 64 < 192 < 9^2 = 81))
3. (\sqrt[3]{2 \cdot 8} = \sqrt[3]{16} = 2) (так как (2^3 = 8))

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

((2 - 2)^3 = 0^3 = 0)

Итак, результат выражения ((\sqrt[12]{144} - \sqrt[3]{2 \sqrt{192}})^3) равен 0.

Давайте разберем выражение (( \sqrt[12]{144} - \sqrt[3]{2 \sqrt{192}} ) ^{3}) шаг за шагом.

1. Вычислим (\sqrt[12]{144}):

   • Заметим, что (144 = 12^2).
   • Поэтому (\sqrt[12]{144} = \sqrt[12]{12^2}).
   • Это равно ((12^2)^{1/12} = 12^{2/12} = 12^{1/6}).

   Чтобы упростить (12^{1/6}), разложим 12:

   • (12 = 2^2 \times 3).
   • Тогда (12^{1/6} = (2^2 \times 3)^{1/6} = 2^{2/6} \times 3^{1/6} = 2^{1/3} \times 3^{1/6}).

2. Вычислим (\sqrt[3]{2 \sqrt{192}}):

   • Сначала упростим (\sqrt{192}).
   • (192 = 64 \times 3 = 8^2 \times 3), значит, (\sqrt{192} = \sqrt{8^2 \times 3} = 8 \sqrt{3}).
   • Таким образом, (2 \sqrt{192} = 2 \times 8 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}).

   Теперь найдём (\sqrt[3]{16 \sqrt{3}}):

   • Разложим 16: (16 = 2^4).
   • Тогда (\sqrt[3]{16 \sqrt{3}} = \sqrt[3]{2^4 \times 3^{1/2}}).
   • Это равно (2^{4/3} \times 3^{1/6}).

3. Теперь у нас есть выражение:

   [ (2^{1/3} \times 3^{1/6} - 2^{4/3} \times 3^{1/6})^3 ]

4. Вынесем общий множитель (3^{1/6}):

   [ = (3^{1/6}(2^{1/3} - 2^{4/3}))^3 ]

5. Упростим внутри скобок:

   • Внутри скобок: (2^{1/3} - 2^{4/3} = 2^{1/3}(1 - 2^{3/3}) = 2^{1/3}(1 - 2)).
   • Это равно (2^{1/3} \times (-1) = -2^{1/3}).

6. Теперь выражение имеет вид:

   [ =(3^{1/6} \times -2^{1/3})^3 ]

7. Возведем в куб:

   [ = (-1)^3 \times (3^{1/6})^3 \times (2^{1/3})^3 ] [ = -1 \times 3^{1/2} \times 2 ] [ = -2 \sqrt{3} ]

Таким образом, итоговое значение выражения (( \sqrt[12]{144} - \sqrt[3]{2 \sqrt{192}} ) ^{3}) равно (-2 \sqrt{3}).

[( \sqrt[12]{144} - \sqrt[3]{2 \sqrt{192} } ) ^{3} = 0]