Сравнить 1) ⁴√(7/8)³ и ⁴√(15/16)³ 2) (2/3)√2 и 1

Чтобы сравнить данные выражения, начнем с первого пункта: ( ⁴√(7/8)³ ) и ( ⁴√(15/16)³ ).

1) Сравнение ( ⁴√(7/8)³ ) и ( ⁴√(15/16)³ )

Сначала упростим каждое выражение:

[ ⁴√(7/8)³ = (7/8)^{3/4} ] [ ⁴√(15/16)³ = (15/16)^{3/4} ]

Теперь сравним ( (7/8)^{3/4} ) и ( (15/16)^{3/4} ). Поскольку ( x^{3/4} ) является возрастающей функцией для положительных ( x ), нам достаточно сравнить ( 7/8 ) и ( 15/16 ).

Теперь сделаем сравнение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
   • ( 7/8 = 14/16 )
   • ( 15/16 ) остаётся без изменений.

Теперь мы видим, что:

[ 14/16 < 15/16 ]

Следовательно, ( 7/8 < 15/16 ). Так как функция ( x^{3/4} ) возрастает, это приводит к:

[ (7/8)^{3/4} < (15/16)^{3/4} ]

Итак, мы можем заключить, что:

[ ⁴√(7/8)³ < ⁴√(15/16)³ ]

2) Сравнение ( (2/3)√2 ) и ( 1 )

Теперь сравним ( (2/3)√2 ) и ( 1 ).

Для этого нам нужно выяснить, больше или меньше ( (2/3)√2 ) по сравнению с 1. Умножим обе стороны неравенства на 3 (что не изменит знак, так как 3 положительно):

[ 2√2 \quad \text{и} \quad 3 ]

Теперь сравним ( 2√2 ) и ( 3 ). Для этого можно возвести обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

[ (2√2)^2 \quad \text{и} \quad 3^2 ]

Это даст нам:

[ 8 \quad \text{и} \quad 9 ]

Поскольку ( 8 < 9 ), это приводит к:

[ 2√2 < 3 ]

Следовательно, ( (2/3)√2 < 1 ).

Итог

1. ( ⁴√(7/8)³ < ⁴√(15/16)³ )
2. ( (2/3)√2 < 1 )

Таким образом, в обоих случаях первое выражение меньше второго.

1) ( ⁴√(7/8)³ < ⁴√(15/16)³ ).

2) ( (2/3)√2 < 1 ).

Давайте подробно разберем каждый пункт задачи.

1. Сравнить ( \sqrt[4]{\left(\frac{7}{8}\right)^3} ) и ( \sqrt[4]{\left(\frac{15}{16}\right)^3} ):

Для удобства сравнения упростим выражения.

Шаг 1. Распишем оба выражения:

• Первое выражение: ( \sqrt[4]{\left(\frac{7}{8}\right)^3} ).
• Второе выражение: ( \sqrt[4]{\left(\frac{15}{16}\right)^3} ).

Общее правило извлечения корня: ( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} ). Применим это правило.

• Первое выражение: ( \left(\frac{7}{8}\right)^{\frac{3}{4}} ).
• Второе выражение: ( \left(\frac{15}{16}\right)^{\frac{3}{4}} ).

Теперь задача сводится к сравнению ( \left(\frac{7}{8}\right)^{\frac{3}{4}} ) и ( \left(\frac{15}{16}\right)^{\frac{3}{4}} ).

Шаг 2. Сравним основания:

• Основание первого выражения: ( \frac{7}{8} \approx 0.875 ).
• Основание второго выражения: ( \frac{15}{16} \approx 0.9375 ).

Очевидно, что ( \frac{7}{8} < \frac{15}{16} ).

Шаг 3. Учитываем возведение в степень ( \frac{3}{4} ):

Возведение в степень ( \frac{3}{4} ) сохраняет порядок чисел, так как она положительная (при этом оба числа меньше 1, поэтому их значения уменьшаются при возведении в степень, но порядок сохраняется).

Таким образом, ( \left(\frac{7}{8}\right)^{\frac{3}{4}} < \left(\frac{15}{16}\right)^{\frac{3}{4}} ).

Ответ на первый пункт:

( \sqrt[4]{\left(\frac{7}{8}\right)^3} < \sqrt[4]{\left(\frac{15}{16}\right)^3} ).

2. Сравнить ( \frac{2}{3}\sqrt{2} ) и ( 1 ):

Шаг 1. Найдем численное значение ( \frac{2}{3}\sqrt{2} ):

• Приближенное значение ( \sqrt{2} \approx 1.414 ).
• Тогда ( \frac{2}{3}\sqrt{2} \approx \frac{2}{3} \cdot 1.414 \approx 0.9427 ).

Шаг 2. Сравним с 1:

Очевидно, что ( 0.9427 < 1 ).

Ответ на второй пункт:

( \frac{2}{3}\sqrt{2} < 1 ).

Итоговые ответы:

1) ( \sqrt[4]{\left(\frac{7}{8}\right)^3} < \sqrt[4]{\left(\frac{15}{16}\right)^3} ).
2) ( \frac{2}{3}\sqrt{2} < 1 ).