Сравнить числа: (3,2)^-5 и (3 корень из 2)^-5

Для сравнения чисел (3,2)^-5 и (3 корень из 2)^-5, сначала приведем их к более удобному виду.

(3,2)^-5 = 3^-5 2^-5 = 1/3^5 1/2^5 = 1/(3^5 * 2^5) = 1/7776

(3 корень из 2)^-5 = (3^0,5)^-5 = 3^-2,5 = 1/3^2,5 = 1/(3^5/2) = 1/486

Таким образом, (3,2)^-5 = 1/7776 и (3 корень из 2)^-5 = 1/486. Из этого следует, что (3,2)^-5 < (3 корень из 2)^-5.

Эти числа равны.

Чтобы сравнить числа ((3.2)^{-5}) и ((3 \sqrt{2})^{-5}), давайте сначала упростим каждое из них.

1. Число ((3.2)^{-5}):

   ((3.2)^{-5}) означает, что мы возводим число 3.2 в степень -5. Это эквивалентно взятию обратного значения 3.2 в пятой степени:

   [ (3.2)^{-5} = \frac{1}{(3.2)^5} ]

   Вычислим ((3.2)^5):

   [ (3.2)^5 = 3.2 \times 3.2 \times 3.2 \times 3.2 \times 3.2 ]

   Приблизительно:

   [ 3.2^2 = 10.24, \quad 3.2^3 = 32.768, \quad 3.2^4 = 104.8576, \quad 3.2^5 = 335.54432 ]

   Таким образом:

   [ (3.2)^{-5} \approx \frac{1}{335.54432} ]

2. Число ((3 \sqrt{2})^{-5}):

   ((3 \sqrt{2})^{-5}) аналогично означает, что мы берем обратное значение 3 (\sqrt{2}) в пятой степени:

   [ (3 \sqrt{2})^{-5} = \frac{1}{(3 \sqrt{2})^5} ]

   Вычислим ((3 \sqrt{2})^5):

   ((3 \sqrt{2}) = 3 \times 1.414 \approx 4.242)

   Теперь возведем в пятую степень:

   [ (4.242)^5 ]

   Приблизительно:

   [ 4.242^2 = 17.998, \quad 4.242^3 = 76.139, \quad 4.242^4 = 322.824, \quad 4.242^5 = 1367.211 ]

   Таким образом:

   [ (3 \sqrt{2})^{-5} \approx \frac{1}{1367.211} ]

Теперь, сравнив (\frac{1}{335.54432}) и (\frac{1}{1367.211}), мы видим, что первое число больше, так как его знаменатель меньше. Следовательно:

[ (3.2)^{-5} > (3 \sqrt{2})^{-5} ]