Срочно в геометрической прогрессии bn известно, что b4=16, b7=1024. найдите знаменатель прогрессии.

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается путем умножения предыдущего на постоянный множитель, называемый знаменателем прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как ( b_1 = b ), а знаменатель как ( q ). Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

[ b_4 = b \cdot q^3 ] [ b_7 = b \cdot q^6 ]

Из условия задачи знаем, что ( b_4 = 16 ) и ( b_7 = 1024 ). Подставим известные значения в наши уравнения:

[ b \cdot q^3 = 16 \quad (1) ] [ b \cdot q^6 = 1024 \quad (2) ]

Теперь разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от ( b ):

[ \frac{b \cdot q^6}{b \cdot q^3} = \frac{1024}{16} ]

Сократив ( b ) (если ( b \neq 0 )), получаем:

[ q^3 = \frac{1024}{16} ]

Вычислим правую часть:

[ \frac{1024}{16} = 64 ]

Таким образом, мы получили:

[ q^3 = 64 ]

Теперь найдем ( q ), извлекая кубический корень:

[ q = \sqrt[3]{64} = 4 ]

Таким образом, знаменатель прогрессии равен ( q = 4 ).

Теперь можно проверить, подходит ли найденное значение знаменателя к нашим уравнениям. Подставим ( q = 4 ) обратно в уравнение (1) для нахождения ( b ):

[ b \cdot 4^3 = 16 ]

Это означает:

[ b \cdot 64 = 16 ]

Следовательно, ( b = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} ).

Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение уравнению (2):

[ b \cdot 4^6 = 1024 ]

Вычислим:

[ \left(\frac{1}{4}\right) \cdot 4096 = 1024 ]

Это верно, так как ( \frac{4096}{4} = 1024 ).

Таким образом, мы подтвердили, что найденные значения верны.

Ответ: Знаменатель прогрессии ( q = 4 ).

В геометрической прогрессии можно использовать формулу общего члена: ( b_n = b_1 \cdot r^{n-1} ), где ( r ) — знаменатель прогрессии.

Из условия задачи имеем:

1. ( b_4 = b_1 \cdot r^3 = 16 )
2. ( b_7 = b_1 \cdot r^6 = 1024 )

Разделим второе уравнение на первое:

[ \frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 \cdot r^6}{b_1 \cdot r^3} = r^3 = \frac{1024}{16} = 64 ]

Теперь найдём ( r ):

[ r^3 = 64 \implies r = 64^{1/3} = 4 ]

Таким образом, знаменатель прогрессии равен ( r = 4 ).

В геометрической прогрессии каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии ( q ). Общая формула для ( n )-го члена прогрессии имеет вид:

[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1}, ] где:

• ( b_n ) — ( n )-й член прогрессии;
• ( b_1 ) — первый член прогрессии;
• ( q ) — знаменатель прогрессии;
• ( n ) — номер члена прогрессии.

Итак, нам даны два члена прогрессии: [ b_4 = 16, \quad b_7 = 1024. ]

1. Подставим данные в общую формулу

Для ( b_4 ): [ b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3. ] Отсюда: [ 16 = b_1 \cdot q^3. \tag{1} ]

Для ( b_7 ): [ b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6. ] Отсюда: [ 1024 = b_1 \cdot q^6. \tag{2} ]

2. Уберём ( b_1 ), составив отношение

Разделим уравнение (2) на уравнение (1) (чтобы исключить ( b_1 )): [ \frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^6}{b_1 \cdot q^3}. ] Сокращаем ( b_1 ) и упрощаем ( q^6 / q^3 ): [ \frac{1024}{16} = q^{6-3}. ] [ 64 = q^3. ]

3. Найдём ( q )

Решим уравнение ( q^3 = 64 ): [ q = \sqrt[3]{64}. ] [ q = 4. ]

Ответ:

Знаменатель геометрической прогрессии ( q = 4 ).