Сумма геометрической прогрессии (bn) равна 123, первый член равен 41. Найдите знаменатель прогрессии.

Для нахождения знаменателя прогрессии воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии: S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) = 123, где S - сумма прогрессии, a1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов прогрессии.

Подставляем известные значения: 41 * (1 - q^n) / (1 - q) = 123, 41 - 41q^n = 123 - 123q, 41q^n - 123q + 82 = 0, q^n - 3q + 2 = 0.

Далее решаем уравнение для нахождения q.

Для решения задачи о сумме геометрической прогрессии необходимо воспользоваться формулой суммы конечной геометрической прогрессии:

[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}, ]

где ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов прогрессии, ( b_1 ) — первый член прогрессии, ( q ) — знаменатель прогрессии, и ( n ) — количество членов.

В данной задаче известно, что сумма ( S_n = 123 ), первый член ( b_1 = 41 ). Однако не указано, сколько членов прогрессии ( n ). Мы можем предположить, что ( n = 2 ) для упрощения задачи, так как информация о числе членов отсутствует.

Подставим известные значения в формулу:

[ 123 = 41 \frac{q^2 - 1}{q - 1}. ]

Упростим уравнение:

1. Разделим обе части на 41:

[ 3 = \frac{q^2 - 1}{q - 1}. ]

1. Умножим обе части на ( q - 1 ):

[ 3(q - 1) = q^2 - 1. ]

1. Раскроем скобки:

[ 3q - 3 = q^2 - 1. ]

1. Перенесем все в одну сторону уравнения:

[ q^2 - 3q + 2 = 0. ]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого найдем его корни с помощью формулы:

[ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = 2 ).

Посчитаем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1. ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

[ q_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2, ]

[ q_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{2}{2} = 1. ]

Таким образом, возможны два варианта для знаменателя геометрической прогрессии: ( q = 2 ) или ( q = 1 ).

1. Если ( q = 2 ), то прогрессия увеличивается, и все условия задачи выполняются.
2. Если ( q = 1 ), то прогрессия будет постоянной, и сумма также будет равна 123.

Следовательно, исходя из условия задачи и предположения о ( n = 2 ), возможные значения знаменателя прогрессии: ( q = 2 ) или ( q = 1 ).

Если бы была известна точная длина прогрессии, это позволило бы однозначно определить значение ( q ).

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии (q) воспользуемся формулой для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q),

где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

По условию задачи известно, что сумма геометрической прогрессии равна 123, а первый член равен 41, т.е. Sn = 123, a1 = 41.

Подставляем известные значения в формулу:

123 = 41 * (1 - q^n) / (1 - q).

Для дальнейших расчетов нам нужно знать значение n. Если значение n не указано в задаче, то мы не сможем однозначно определить знаменатель прогрессии q.